Линейная алгебра. Курзина В.М. - 59 стр.

                                       ⎯ 58 ⎯

      3.5. Базис из собственных векторов самосопряженного оператора

      Теорема 3.9. Если собственные значения λ1, ..., λn самосопряженного
оператора А, действующего в n-мерном евклидовом пространстве Е, по-
парно различны, то в Е существует ортонормированный базис, в котором
матрица этого линейного оператора А имеет диагональный вид, причем
диагональными элементами такой матрицы являются собственные значе-
ния λ1, ..., λn .
      Поскольку собственные значения λ1, ..., λn попарно различны, то,
выбрав для каждого λi соответствующий ему собственный вектор e i, по-
лучим систему e ненулевых векторов, которые по предыдущей теореме
попарно ортогональны. Поэтому e ⎯ ортогональная система векторов.
Поскольку она состоит из n собственных векторов, отвечающих попарно
различным собственным значениям оператора, то она линейно независима
и является базисом. Этот базис является ортогональным, а чтобы превра-
тить его в ортонормированный, необходимо каждый вектор e i нормиро-
вать делением на его длину. Таким образом, при выполнении условий тео-
ремы существует базис из собственных векторов самосопряженного опе-
ратора А. Ранее было доказано, что матрица линейного оператора в базисе
из собственных векторов является диагональной, а диагональные элементы
матрицы представляют собой собственные значения.
      Хотя все корни характеристического уравнения самосопряженного
оператора действительны, среди них могут быть кратные, и тогда теорема,
доказанная нами, неприменима. Однако и в этом случае матрица самосо-
пряженного оператора приводится к диагональному виду.
      Теорема 3.10 . Для любого самосопряженного оператора А сущест-
вует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого
линейного оператора. Матрица Аm самосопряженного оператора А в этом
базисе имеет диагональный вид, на ее диагонали расположены собствен-
ные значения оператора А, повторяющиеся столько раз, какова их крат-
ность.
      Доказательство этой теоремы выходит за рамки изучаемого курса и
поэтому не приводится.
      Базис из собственных векторов симметрической матрицы Аm опера-
тора А называется собственным базисом самосопряженного оператора.
      Следствие. Любая симметрическая матрица М порядка n подобна
некоторой диагональной, т. е. существует такая невырожденная матрица
Р порядка n, что P −1 МР = diag (λ1 ,... , λn ). Последовательность λ1,... , λn
из n чисел представляет собой перечень всех корней характеристического
уравнения матрицы М с учетом их кратностей.
      Рассмотрим в n-мерном евклидовом пространстве Rn стандартный
ортонормированный базис, и пусть матрица Мm является матрицей в этом