Линейная алгебра. Курзина В.М. - 60 стр.

                                                  ⎯ 59 ⎯

базисе некоторого линейного оператора М. Тогда этот оператор будет са-
мосопряженным. По доказанной теореме для него существует ортонорми-
рованный базис, в котором его матрица Мm′ имеет диагональный вид
Мm′= diag (λ1 ,... , λn). Матрица Мm′ получается из исходной матрицы Мm
при помощи матрицы перехода Р из стандартного базиса в указанный ор-
тонормированный базис: Мm′ = Р −1 Мm Р.


      4.      Квадратичные формы

      4.1. Определение

        Функцию L (v), удовлетворяющую равенству
                            L (α u + β v ) = αL ( u ) + βL ( v ),
 где u , v ∈V ⎯ произвольные векторы; α, β ∈R ⎯ произвольные действи-
тельные числа, называют линейной формой на линейном пространстве
V. Линейная форма может быть записана в виде L (v) = ( c , v ), где c ⎯
данный вектор.
        Функция b ( u , v ) двух векторных аргументов u , v ∈ V, линейная по
каждому аргументу, называется билинейной формой на линейном про-
странстве V. Линейность функции b ( u , v ) по каждому из аргументов
означает, что для любых действительных чисел α, β и любых векторов
u , v , w ∈ V выполняются равенства:
                    b (α u + β v , w ) = αb ( u , w ) + βb ( v , w );
                    b ( u , α v + β w ) = αb ( u , v ) + βb ( u , w ).
        Пример 4.1. Частным случаем билинейной формы является скаляр-
ное произведение. Действительно, аксиомы скалярного произведения оз-
начают, что скалярное произведение как функция от двух переменных ли-
нейно по первому и второму аргументам. Выберем в n-мерном линейном
пространстве V некоторый базис e = ( e 1,..., e n). Для билинейной фор-
мы b ( u , v ) введем обозначение bij = b ( e i, e j), i, j = 1,..., n. Тогда для лю-
бых векторов u и v со столбцами координат u = (u1,..., un)Т, v = (v1,..., vn)Т
в базисе e
                             n           n               n   n                    n   n
           b ( u , v ) = b ( ∑ ui ei ,   ∑ v je j ) =   ∑ ∑ u i v j b(ei , e j ) = ∑ ∑ bij ui v j .
                            i =1         j =1           i =1 j =1               i =1 j =1
        Используя специальную квадратную матрицу В = (bij)n,n порядка n,
где bi j = b ( e i, e j), можем записать полученное представление в матрич-
ной форме: b ( u , v ) = uTBv. Матрицу В называют матрицей билинейной
формы b ( u , v ) в базисе e = ( e 1, ..., e n) .