Линейная алгебра. Курзина В.М. - 62 стр.

                                     ⎯ 61 ⎯

                                     ⎛ 1 0 2⎞
                                     ⎜           ⎟
                                     ⎜ 0    0 0  ⎟.
                                     ⎜ 2 0 0⎟
                                     ⎝           ⎠
      Так как Rg A = 2 < 3, то эта квадратичная форма является вырожден-
ной. В матричной записи квадратичная форма имеет вид
                                                        ⎛ 1 0 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞
                              2                         ⎜       ⎟⎜ ⎟
                            х1 + 4х1х3 = (х1 х2 х3) ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜ x 2 ⎟ .
                                                        ⎜ 2 0 0⎟ ⎜ x ⎟
                                                        ⎝       ⎠⎝ 3⎠
      Пусть дана квадратичная форма u Аu, где u = (u1,..., un)Т. В n-мерном
                                                  Т

линейном пространстве V с фиксированным базисом e она определяет
функцию f (u) = uеТАuе , заданную через координаты вектора uе вектора u
в базисе e . Найдем представление этой же функ-ции в некотором другом
базисе a . Пусть U ⎯ матрица перехода от базиса e к базису a . Тогда ко-
ординаты uе вектора u в базисе e и координаты uа вектора u в новом бази-
се a будут связаны соотношением
                                       uе = U uа.                               (4.1)
      Функция f (x) в новом базисе будет выражаться через новые коорди-
наты вектора u следующим образом: uеТАuе = (Uuа)ТА(Uuе) = uаТ(U ТАU)uа =
= uаТА′ uа . Итак, функция f в новом базисе также записывается при помо-
щи квадратичной формы, причем матрица А′ этой квадратичной формы
связана с матрицей исходной квадратной формы соотношением А′= U ТАU.
      Преобразование матрицы квадратичной формы вызывается заменой
переменных (переходом от переменных uе к переменным uа). Замену пе-
ременных вида (4.1) с произвольной матрицей U называют линейной. Из-
менение базиса в линейном пространстве приводит к линейной замене пе-
ременных (4.1) с невырожденной матрицей U.
      Пример 4.5. Преобразуем квадратичную форму относительно пере-
менных x1, x2, x3 : f (x1, x2, x3) = 7x12 + 5x22 + 2x32 − 8x1x2 + 2x1x3 − 6x2x3
к новым переменным y1, y2, y3, исходя из формул
                               ⎧ x1 = y1 + y 2 + y 3 ;
                               ⎪
                               ⎨ x 2 = y1 + 2 y 2 + 2 y 3 ;
                               ⎪ x = y + y + 2y .
                               ⎩ 3        1    2       3
 Эта замена переменных в матричной форме записи имеет вид х = Uу , а
матрица
                                           ⎛1 1 1 ⎞
                                           ⎜         ⎟
                                     U = ⎜1 2 2 ⎟ .
                                           ⎜1 1 2 ⎟
                                           ⎝         ⎠
Согласно вышеизложенному имеем