Линейная алгебра. Курзина В.М. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

⎯
60
⎯
Таким образом, билинейная форма однозначно определяется своей
матрицей в произвольно выбранном базисе.
Функция вида q (v ) = b (v ,v ), где b ⎯ билинейная форма с симмет-
рической матрицей, называется квадратичной формой. Используя пред-
ставление билинейной формы в базисе
e = ( e
1
,
..., e
n
), квадратичную фор-
му можно представить в виде многочлена второй степени от
n переменных
с действительными коэффициентами
q (v ) = b (v , v ) =
∑
=
n
i
iii
vb
1
2
+ 2
bvv
ij i j
ijn1≤< ≤
∑
, b
ij
∈R.
Это представление квадратичной формы называется координатной
записью квадратичной формы
q (v ).
Пример 4.2. Выражение 5х
2
+ 4ху + 8у
2
задает некоторую квадратич-
ную форму в пространстве R
2
.
Пример 4.3. Выражение 9х
2
+ 6у
2
+ z
2
− 7ху + 3xz − 7yz задает квадра-
тичную форму в пространстве
R
3
.
Аналитические выражения для квадратичных форм в пространствах
R
3
и R
2
представляют собой уравнения для кривых и поверхностей второго
порядка в этих пространствах.
4.2. Матрица квадратичной формы
Квадратичная форма представляет интерес как способ задания неко-
торой функции векторного аргумента, определенной в
n-мерном линейном
пространстве
V. Если в этом пространстве выбрать некоторый базис, то
квадратичную форму можно трактовать как функцию, значение которой
определено через координаты
v
1
, v
2
,..., v
n
вектора v . Эту функцию часто
отождествляют с квадратичной формой.
Так же как и билинейную форму, квадратичную форму можно запи-
сать в матричном виде:
v
T
Bv, где v = (v
1
,..., v
n
)
Т
⎯
столбец, составленный
из переменных;
В = (b
ij
)
n,n
⎯ симметрическая матрица порядка n, называе-
мая матрицей квадратичной формы. Ранг матрицы
В квадратичной
формы называют рангом квадратичной формы. Если матрица
В имеет мак-
симальный ранг, равный числу переменных
n, то квадратичную форму на-
зывают невырожденной, а если ранг
В меньше n, то ее называют вырож-
денной.
Пример 4.4. Квадратичная форма от трех переменных х
1
2
+ 4х
1
х
3
име-
ет матрицу 
                                 ⎯ 60 ⎯

      Таким образом, билинейная форма однозначно определяется своей
матрицей в произвольно выбранном базисе.
      Функция вида q ( v ) = b ( v , v ), где b ⎯ билинейная форма с симмет-
рической матрицей, называется квадратичной формой. Используя пред-
ставление билинейной формы в базисе e = ( e 1, ..., e n), квадратичную фор-
му можно представить в виде многочлена второй степени от n переменных
с действительными коэффициентами
                                           n
                                         ∑ bii vi                ∑
                                                    2
                  q (v ) = b (v ,v ) =                  + 2           bij v i v j   , bij   ∈R.
                                          i =1                1≤i < j ≤ n
     Это представление квадратичной формы называется координатной
записью квадратичной формы q ( v ).
     Пример 4.2. Выражение 5х2 + 4ху + 8у2 задает некоторую квадратич-
ную форму в пространстве R2.
     Пример 4.3. Выражение 9х2 + 6у2 + z2 − 7ху + 3xz − 7yz задает квадра-
тичную форму в пространстве R3.
     Аналитические выражения для квадратичных форм в пространствах
 3   2
R и R представляют собой уравнения для кривых и поверхностей второго
порядка в этих пространствах.


      4.2. Матрица квадратичной формы

      Квадратичная форма представляет интерес как способ задания неко-
торой функции векторного аргумента, определенной в n-мерном линейном
пространстве V. Если в этом пространстве выбрать некоторый базис, то
квадратичную форму можно трактовать как функцию, значение которой
определено через координаты v1, v2,..., vn вектора v . Эту функцию часто
отождествляют с квадратичной формой.
      Так же как и билинейную форму, квадратичную форму можно запи-
сать в матричном виде: vTBv, где v = (v1,..., vn )Т ⎯ столбец, составленный
из переменных; В = (bij)n,n ⎯ симметрическая матрица порядка n, называе-
мая матрицей квадратичной формы. Ранг матрицы В квадратичной
формы называют рангом квадратичной формы. Если матрица В имеет мак-
симальный ранг, равный числу переменных n, то квадратичную форму на-
зывают невырожденной, а если ранг В меньше n, то ее называют вырож-
денной.
      Пример 4.4. Квадратичная форма от трех переменных х12 + 4х1х3 име-
ет матрицу

Страницы