Линейная алгебра. Курзина В.М. - 63 стр.

                                                 ⎯ 62 ⎯

                  ⎛1 1 1 ⎞ ⎛ 7 − 4 1 ⎞ ⎛1 1 1 ⎞ ⎛ 2 0 0 ⎞
              T   ⎜        ⎟⎜            ⎟⎜         ⎟ ⎜          ⎟
      А′ = U AU = ⎜1 2 1 ⎟ ⎜ − 4 5 − 3 ⎟ ⎜1 2 2 ⎟ = ⎜ 0 3 0 ⎟ ,
                  ⎜1 2 2 ⎟ ⎜ 1 − 3 2 ⎟ ⎜1 1 2 ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟
                  ⎝        ⎠⎝            ⎠⎝         ⎠ ⎝          ⎠
и квадратичная форма принимает вид f (у1, у2, у3) = 2у1 + 3у2 − у32, т. е.
                                                       2     2

все коэффициенты при попарных произведениях переменных обнуляются
и остаются слагаемые с квадратами переменных.


      4.3. Канонический вид квадратичной формы

       Канонический вид квадратичной формы Q(v) ⎯ это координатная
запись квадратичной формы, не содержащая произведений vi vj (i ≠ j), т. е.
содержащая лишь квадраты координат. Переменные v1,..., vn, в которых
квадратичная форма имеет канонический вид, называют каноническими
переменными.
       Один из методов преобразования (или, как говорят, приведения)
квадратичной формы к каноническому виду путем замены переменных со-
стоит в последовательном выделении полных квадратов. Проиллюстриру-
ем этот метод на примере.
       Пример 4.6. Рассмотрим квадратичную форму х12 − 4х1х2 от двух пе-
ременных. Для преобразования ее к каноническому виду выделим полный
квадрат по переменной х1. Для этого соберем слагаемые, содержащие х1, и
дополним до полного квадрата: х12 − 4х1х2 = х12 − 4х1х2 + 4х22 − 4х22 = (х1 −
− 2х2)2 − 4х22. Введя новые переменные z1 = х1 − 2х2, z2 = 2х2, получим квад-
ратичную форму канонического вида: z12 − z22.
       Пример 4.7. Рассмотрим уравнение некоторой кривой второго по-
рядка х2 + у2 + z2 − х + 2у + 1 = 0 и приведем его к каноническому виду, для
чего дополним до полных квадратов члены, содержащие х, у, z, т. е. пере-
пишем уравнение в следующем виде:
(х2 − х + 0,25) − 0,25 + (у2 + 2у + 1) − 1 + z2 + 1 = (х − 0,5)2 + (у + 1)2 + z2 + 1.
Замена переменных х′ = х − 0,5; у′ = у + 1; z′ = z приводит к каноническому
виду уравнения кривой (х′)2 + (у′)2 + (z′)2 = 0,25, левая часть которого пред-
ставляет из себя квадратичную форму в каноническом виде.


      4.4. Приведение к каноническому виду

     Как применять метод выделения полных квадратов в общем случае?
Рассмотрим квадратичную форму от n переменных общего вида:
                         n
                        ∑ bii vi               ∑ bij vi v j , bij ∈ R..
                                   2
             f (v ) =                  +2                                      (4.2)
                        i =1                1≤i < j ≤ n