Линейная алгебра. Курзина В.М. - 65 стр.

                                ⎯ 64 ⎯

= 9w12 − 9w22 также канонического вида.
       Другим методом приведения квадратической формы к кано-
ническому виду является метод, основанный на ортогональном преобразо-
вании матрицы. Ранее мы установили, что матрица А квадратичной формы
при переходе от старого базиса к новому базису изменяется по формуле
А′ = U ТАU, где U ⎯ матрица перехода. Если рассматривать евклидово
пространство, а старый и новый базисы выбрать ортонормированными, то
матрица перехода U является ортогональной и мы имеем дело с ортого-
нальным преобразованием квадратичной формы.
       Теорема 4.1. При ортогональном преобразовании квадратичной фор-
мы характеристическое уравнение ее матрицы не изменяется.
       Пусть А ⎯ матрица заданной квадратичной формы. При ортогональ-
ном преобразовании из матрицы А получаем матрицу А′ по формуле А′ =
= U ТАU, причем U является ортогональной матрицей. Согласно свойству
ортогональных матриц U имеет обратную и U −1 =U Т. Поэтому А′ = UТАU =
=U −1 АU, и мы видим, что матрицы А′ и А подобны, а у подобных матриц
характеристические уравнения совпадают.
       Теорема 4.2.Любую квадратичную форму ортогональным преобра-
зованием можно привести к каноническому виду.
       Матрица А данной квадратичной формы является симметрической.
Но любая симметрическая матрица подобна диагональной, т. е. существует
такая невырожденная матрица Р, что матрица А′ =Р −1 АР является диаго-
нальной. Убедимся, что в качестве Р можно выбрать ортогональную мат-
рицу. Действительно, рассмотрим произвольное n-мерное евклидово про-
странство Е (n ⎯ количество переменных в квадратичной форме) и неко-
торый ортонормированный базис a в этом пространстве. Матрица А явля-
ется матрицей некоторого самосопряженного оператора А в базисе a . Из-
вестно, что существует такой ортонормированный базис e , что матрица
А′ оператора А в этом базисе является диагональной. Согласно формуле
преобразования матрицы линейного оператора имеем А′ = Р −1 АР, где Р ⎯
матрица перехода из базиса a в базис e . Так как оба базиса ортонормиро-
ванные, матрица Р является ортогональной. А для ортогональной матрицы
Р −1 = РТ , и тогда А′ = РТАР и диагональная матрица А′ является матрицей
квадратичной формы, полученной из исходной при помощи ортогонально-
го преобразования. Диагональный вид матрицы А′ равнозначен канониче-
скому виду квадратичной формы.
       В ходе доказательства предыдущих теорем мы получили, что диаго-
нальными элементами матрицы А′ квадратичной формы канонического
вида, получающейся в результате ортогонального преобразования, являют-
ся собственные значения матрицы А квадратичной формы. Из этого следу-