Линейная алгебра. Курзина В.М. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

⎯
65
⎯
ет, что мы можем записать матрицу А′ канонического вида, не находя со-
ответствующего ортогонального преобразования.
Кроме того, находя ортогональное преобразование, приводящее
квадратичную ортогональную форму к каноническому виду, мы фактиче-
ски ищем базис из собственных векторов соответствующего самосопря-
женного оператора. Действительно, если квадратичная форма и самосо-
пряженный оператор имели в исходном ортонормированном базисе оди-
наковую матрицу, то и
в новом ортонормированном базисе их матрицы
будут совпадать.
Мы предполагаем, что квадратичная форма представляет собой за-
пись функции, заданной в евклидовом пространстве, через координаты
вектора в некотором ортонормированном базисе. На самом деле такое
представление носит чисто вспомогательный характер, помогающий смот-
реть на процесс с геометрической точки зрения, но она никак
не использу-
ется в самом алгоритме построения ортогонального преобразования. Дос-
таточно лишь записать матрицу квадратичной формы и применить к этой
матрице процедуру приведения к диагональному виду.
Проиллюстрируем на примерах процедуру практического вычисле-
ния ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к
каноническому виду.
Пример 4. 9. Квадратичную форму f (х
1
, х
2
) = х
1
− 4х
1
х
2
от двух пере-
менных мы приводили к каноническому виду методом выделения полных
квадратов. Теперь попробуем привести ее к каноническому виду ортого-
нальным преобразованием. Матрица квадратичной формы имеет вид
А =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
02
21
.
Найдем характеристическое уравнение этой матрицы:
λ
λ
−−
−
−
02
21
= (1 − λ)(− λ) − 4 = λ
2
− λ − 4 = 0.
Вычисляем корни характеристического уравнения, они же собственные
значения матрицы
А: λ
1
,
2
= (1 ± 17 )/2. Теперь можно записать канониче-
ский вид квадратичной формы:
f (у
1
, у
2
) =
117
2
+
у
1
2
+
117
2
−
у
2
2
.
Пример 4.10. Найдем канонический вид квадратичной формы
f (х
1
, х
2
) = 5х
1
2
+ 8х
1
х
2
+ 5х
2
2
,
к которому она приводится ортогональным преобразованием, и укажем
одно из таких ортогональных преобразований. Квадратичная форма имеет
матрицу
А =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
54
45
                                   ⎯ 65 ⎯

ет, что мы можем записать матрицу А′ канонического вида, не находя со-
ответствующего ортогонального преобразования.
      Кроме того, находя ортогональное преобразование, приводящее
квадратичную ортогональную форму к каноническому виду, мы фактиче-
ски ищем базис из собственных векторов соответствующего самосопря-
женного оператора. Действительно, если квадратичная форма и самосо-
пряженный оператор имели в исходном ортонормированном базисе оди-
наковую матрицу, то и в новом ортонормированном базисе их матрицы
будут совпадать.
      Мы предполагаем, что квадратичная форма представляет собой за-
пись функции, заданной в евклидовом пространстве, через координаты
вектора в некотором ортонормированном базисе. На самом деле такое
представление носит чисто вспомогательный характер, помогающий смот-
реть на процесс с геометрической точки зрения, но она никак не использу-
ется в самом алгоритме построения ортогонального преобразования. Дос-
таточно лишь записать матрицу квадратичной формы и применить к этой
матрице процедуру приведения к диагональному виду.
      Проиллюстрируем на примерах процедуру практического вычисле-
ния ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к
каноническому виду.
      Пример 4. 9. Квадратичную форму f (х1, х2) = х1 − 4х1х2 от двух пере-
менных мы приводили к каноническому виду методом выделения полных
квадратов. Теперь попробуем привести ее к каноническому виду ортого-
нальным преобразованием. Матрица квадратичной формы имеет вид
                                       ⎛ 1 − 2⎞
                                  А = ⎜⎜            ⎟⎟ .
                                       ⎝ − 2      0  ⎠
Найдем характеристическое уравнение этой матрицы:
                            1− λ − 2
                                            = (1 − λ)(− λ) − 4 = λ2 − λ − 4 = 0.
                              −2 0−λ
Вычисляем корни характеристического уравнения, они же собственные
значения матрицы А: λ1,2 = (1 ± 17 )/2. Теперь можно записать канониче-
ский вид квадратичной формы:
                                1 + 17 2 1 − 17 2
                   f (у1, у2) =           у1 +           у2 .
                                   2                   2
      Пример 4.10. Найдем канонический вид квадратичной формы
           f (х1, х2) = 5х12 + 8х1х2 + 5х22 ,
к которому она приводится ортогональным преобразованием, и укажем
одно из таких ортогональных преобразований. Квадратичная форма имеет
матрицу
                                       ⎛ 5 4⎞
                                  А = ⎜⎜       ⎟⎟
                                       ⎝ 4 5⎠

Страницы