Линейная алгебра. Курзина В.М. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

⎯
67
⎯
когда все коэффициенты этих многочленов при одинаковых слагаемых
равны, но это эквивалентно равенству матриц А
m
= В
m
и, следовательно,
равенству самосопряженных операторов.
4.5. Положительно и неотрицательно определенные квадратичные формы
Квадратичные формы подразделяют на различные типы в зависимо-
сти от множества их значений.
Положительно определенная квадратичная форма Q (v) ⎯ это
форма Q (v) ≥ 0 для всех v; Q (v) = 0 только в случае v = 0.
Неотрицательно определенная квадратичная
форма Q (v) ⎯ это
форма Q (v) ≥ 0 для любых v.
Аналогично определяются отрицательно определенная и неположи-
тельно определенная форма, при этом знаки неравенств будут меняться на
противоположные. Остальные квадратичные формы, не относящиеся к оп-
ределенным, называют неопределенными или знакопеременными квадра-
тичными формами.
Пример 4. 11. Рассмотрим четыре квадратичные формы от
трех пе-
ременных :
f
1
(у
1
, у
2
, у
3
) =
2
1
y
+
2
2
y
+
2
3
y ;
f
2
(у
1
, у
2
, у
3
) =
2
1
y +
2
2
y
;
f
3
(у
1
, у
2
, у
3
) =
2
1
y
−
2
2
y
+
2
3
y
;
f
4
(у
1
, у
2
, у
3
) = у
1
у
2
.
Квадратичная форма
f
1
(у
1
, у
2
, у
3
) положительно определена, так как
представляет собой сумму трех квадратов и потому принимает только по-
ложительные значения, если переменные одновременно не обращаются в
нуль. Квадратичная форма
f
2
(у
1
, у
2
, у
3
) неотрицательно определена: буду-
чи суммой двух квадратов, она не принимает отрицательных значений, но
при
х
1
= х
2
= 0 и х
3
≠ 0 она принимает нулевые значения. Квадратичные
формы
f
3
и f
4
знакопеременны. Первая из них положительна при подста-
новке столбца значений
х = (1, 0, 0)
Т
и отрицательна при х = (0, 1, 0)
Т
. Вто-
рая положительна при
х = (1, 1, 0)
Т
и отрицательна при х = (1, −1, 0)
Т
.
Квадратичные формы
f
2
и f
4
являются вырожденными, так как ранг каж-
дой из них равен двум.
Согласно определению тип квадратичной формы зависит только от
множества значений, которые она принимает, и не зависит от переменных,
в которых она записана, или, иначе говоря, от представления ее в произ-
вольном базисе. Поэтому, записав квадратичную форму в каноническом
виде,
из которого легко определяются собственные значения рассматри-
ваемой квадратичной формы, получаем следующие критерии для опреде-
                                   ⎯ 67 ⎯

когда все коэффициенты этих многочленов при одинаковых слагаемых
равны, но это эквивалентно равенству матриц Аm = Вm и, следовательно,
равенству самосопряженных операторов.


 4.5. Положительно и неотрицательно определенные квадратичные формы

      Квадратичные формы подразделяют на различные типы в зависимо-
сти от множества их значений.
      Положительно определенная квадратичная форма Q (v) ⎯ это
форма Q (v) ≥ 0 для всех v; Q (v) = 0 только в случае v = 0.
      Неотрицательно определенная квадратичная форма Q (v) ⎯ это
форма Q (v) ≥ 0 для любых v.
      Аналогично определяются отрицательно определенная и неположи-
тельно определенная форма, при этом знаки неравенств будут меняться на
противоположные. Остальные квадратичные формы, не относящиеся к оп-
ределенным, называют неопределенными или знакопеременными квадра-
тичными формами.
      Пример 4. 11. Рассмотрим четыре квадратичные формы от трех пе-
ременных :
                    f1 (у1 , у2 , у3) = y12 + y 22 + y 32 ;
                   f2 (у1 , у2 , у3) = y12 + y 22 ;
                   f3 (у1 , у2 , у3) = y12 − y 22 + y 32 ;
                   f4 (у1 , у2 , у3) = у1у2.
      Квадратичная форма f1 (у1 , у2 , у3) положительно определена, так как
представляет собой сумму трех квадратов и потому принимает только по-
ложительные значения, если переменные одновременно не обращаются в
нуль. Квадратичная форма f2 (у1 , у2 , у3) неотрицательно определена: буду-
чи суммой двух квадратов, она не принимает отрицательных значений, но
при х1 = х2 = 0 и х3 ≠ 0 она принимает нулевые значения. Квадратичные
формы f3 и f4 знакопеременны. Первая из них положительна при подста-
новке столбца значений х = (1, 0, 0)Т и отрицательна при х = (0, 1, 0)Т. Вто-
рая положительна при х = (1, 1, 0)Т и отрицательна при х = (1, −1, 0)Т.
Квадратичные формы f2 и f4 являются вырожденными, так как ранг каж-
дой из них равен двум.
      Согласно определению тип квадратичной формы зависит только от
множества значений, которые она принимает, и не зависит от переменных,
в которых она записана, или, иначе говоря, от представления ее в произ-
вольном базисе. Поэтому, записав квадратичную форму в каноническом
виде, из которого легко определяются собственные значения рассматри-
ваемой квадратичной формы, получаем следующие критерии для опреде-

Страницы