Линейная алгебра. Курзина В.М. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

⎯
68
⎯
ления типа квадратичной формы в зависимости от знаков, принимаемых
собственными значениями матрицы этой квадратичной формы.
Тип квадратичной формы Множество собственных значе-
ний
Положительно определенная
(для всех
х ≠ 0 f (x) > 0 )
Все собственные значения поло-
жительны (λ
i
> 0 , i = 1,..., n)
Отрицательно определенная
(для всех
х ≠ 0 f (x) < 0)
Все собственные значения отри-
цательны (λ
i
< 0 , i = 1,..., n)
Знакопеременная
(существуют такие столбцы
х и у,
что
f (x) > 0 и f (у) < 0)
Есть собственные значения раз-
ных знаков (существуют λ
i
> 0 и
λ
j
< 0)
Вырожденная
(существует
х ≠ 0, что f (x) = 0)
Есть нулевое собственное значе-
ние (существует λ
i
= 0 )
4.6. Критерий Сильвестра
Хотя приведенная в предыдущем параграфе таблица дает удобную
характеристику типам квадратичных форм, ее использование для опреде-
ления типа конкретной квадратичной формы связано с вычислением соб-
ственных значений матрицы. Во многих случаях тип квадратичной формы
можно определить, не вычисляя собственных значений ее матрицы. Метод
состоит в вычислении
и проверке знаков некоторых миноров матрицы
квадратичной формы. Введем следующие обозначения.
Пусть матрица квадратичной формы
f (
y
) = у
Т
Ау имеет вид
А =
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
,
где а
ij
= а
j i
, i, j = 1,..., n.
Рассмотрим угловые миноры этой матрицы, их также называют
главными минорами:
∆
1
= а
11
, ∆
2
=
aa
aa
11 12
21 22
, ... , ∆
n
=
aa
aa
n
nnn
11 1
1
...
... ... ....
...
.
Каждый угловой минор k-го порядка расположен на пересечении
первых k строк и первых k столбцов матрицы квадратичной формы. Угло-
                                  ⎯ 68 ⎯

ления типа квадратичной формы в зависимости от знаков, принимаемых
собственными значениями матрицы этой квадратичной формы.

Тип квадратичной формы            Множество собственных значе-
                                  ний
Положительно определенная         Все собственные значения поло-
(для всех х ≠ 0 f (x) > 0 )       жительны (λi > 0 , i = 1,..., n)
Отрицательно определенная         Все собственные значения отри-
(для всех х ≠ 0 f (x) < 0)        цательны (λi < 0 , i = 1,..., n)
Знакопеременная                   Есть собственные значения раз-
(существуют такие столбцы х и у, ных знаков (существуют λi > 0 и
что f (x) > 0 и f (у) < 0)        λj < 0)
Вырожденная                       Есть нулевое собственное значе-
(существует х ≠ 0, что f (x) = 0) ние (существует λi = 0 )




      4.6. Критерий Сильвестра

      Хотя приведенная в предыдущем параграфе таблица дает удобную
характеристику типам квадратичных форм, ее использование для опреде-
ления типа конкретной квадратичной формы связано с вычислением соб-
ственных значений матрицы. Во многих случаях тип квадратичной формы
можно определить, не вычисляя собственных значений ее матрицы. Метод
состоит в вычислении и проверке знаков некоторых миноров матрицы
квадратичной формы. Введем следующие обозначения.
      Пусть матрица квадратичной формы f ( y) = уТАу имеет вид
                             ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞
                             ⎜                        ⎟
                             ⎜ a 21 a 22 ... a 2 n ⎟
                      А =⎜                               ,
                                 ...  ... ... ... ⎟
                             ⎜⎜                       ⎟⎟
                                a
                              ⎝ n1   a n2    ... a nn ⎠
где аij = аj i, i, j = 1,..., n.
      Рассмотрим угловые миноры этой матрицы, их также называют
главными минорами:
                                                                     a11 ... a1n
                                          a11 a12
                      ∆1 = а11 , ∆2 =                   , ... , ∆n = ... ... .... .
                                          a 21 a 22
                                                                     a n1 ... a nn
      Каждый угловой минор k-го порядка расположен на пересечении
первых k строк и первых k столбцов матрицы квадратичной формы. Угло-

Страницы