Линейная алгебра. Курзина В.М. - 71 стр.

UptoLike

Составители: 

70
f ( y ) =
=
+
1
1
2
)(
n
i
niii
yy
µλ
+ λ
n
y
n
2
,
где µ
i
= b
in
/ λ
i
, i = 1,.., n 1; λ
n
= b
nn
λ
1
µ
1
2
... λ
n-1
µ
n-1
2
.
Выполнив линейную замену переменных
у
i
= y
i
+
µ
i
y
n
, i = 1,.., n 1,
y
n
= y
n
с невырожденной матрицей, приходим к квадратичной форме ка-
нонического вида
f ( y ) = λ
1
(y
n
)
2
+ ... + λ
n
(y
n
)
2
,
в которой коэффициенты λ
1
,..., λ
n-1
положительны. У определителя матри-
цы квадратичной формы знак не зависит от выбора базиса. Итак, в полу-
ченном представлении формы имеем λ
1
...λ
n-1
λ
n
>0, так как
n
>0. Отсюда
следует, что λ
n
>0, поскольку все остальные коэффициенты λ
i
положитель-
ны. Таким образом, в полученном представлении все коэффициенты поло-
жительны, и квадратичная форма
f ( y ) положительно определена.
Следствие 4. 1. Для того чтобы квадратичная форма n переменных
была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы выпол-
нялись неравенства:
1
> 0 ;
2
> 0 ; ...; (1)
n
n
> 0 (знаки угловых ми-
норов чередуются начиная с минуса ).
Если квадратичная форма
f (
y
) отрицательно определена, то квадра-
тичная форма
f ( y ) положительно определена, и наоборот. Матрицей
квадратичной формы
f ( y ) является матрица А, противоположная мат-
рице
А квадратичной формы f (
y
). Согласно критерию Сильвестра для по-
ложительной определенности квадратичной формы
f ( y ) необходимо и
достаточно, чтобы все угловые миноры ∆′
r
, r = 1,..., n, матрицы А были
положительны. Но при умножении матрицы
А на число 1 все ее элементы
умножаются на это число и поэтому ∆′
r
= (1)
r
r
, где
r
угловой минор
порядка
r матрицы А. Таким образом, квадратичная форма f ( y ) положи-
тельно определена тогда и только тогда, когда выполнены неравенства
(1)
r
r
> 0 , r = 1,..., n,
и это условие равносильно тому, что квадратичная форма
f ( y ) отрица-
тельно определена.
Следствие 4.2. Невырожденная квадратичная форма знакопеременна
тогда и только тогда, когда для матрицы квадратичной формы выполнено
хотя бы одно из условий:
один из угловых миноров равен нулю;
один из угловых миноров четного порядка отрицателен;
два угловых минора нечетного порядка имеют разные знаки.
Невырожденная квадратичная форма может быть либо положитель-
но определенной, либо отрицательно определенной, либо знакопеременной
в зависимости от знаков коэффициентов в ее каноническом виде. Если
                                    ⎯ 70 ⎯

                            n −1
                  f (y) =   ∑ λi ( y i + µ i y n ) 2   + λnyn2,
                            i =1
где µ i = bin / λi, i = 1,.., n −1; λ n = bnn − λ 1µ12 − ... − λn-1µ n-12.
        Выполнив линейную замену переменных уi′ = yi + µ i yn, i = 1,.., n − 1,
y′n = yn с невырожденной матрицей, приходим к квадратичной форме ка-
нонического вида
                        f ( y ) = λ1(y′n)2 + ... + λn(y′n)2,
в которой коэффициенты λ1,..., λn-1 положительны. У определителя матри-
цы квадратичной формы знак не зависит от выбора базиса. Итак, в полу-
ченном представлении формы имеем λ1...λn-1λn >0, так как ∆n >0. Отсюда
следует, что λn >0, поскольку все остальные коэффициенты λi положитель-
ны. Таким образом, в полученном представлении все коэффициенты поло-
жительны, и квадратичная форма f ( y ) положительно определена.
       Следствие 4. 1. Для того чтобы квадратичная форма n переменных
была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы выпол-
нялись неравенства: − ∆ 1 > 0 ; ∆ 2 > 0 ; ...; (−1)n ∆n > 0 (знаки угловых ми-
норов чередуются начиная с минуса ).
       Если квадратичная форма f ( y ) отрицательно определена, то квадра-
тичная форма −f ( y ) положительно определена, и наоборот. Матрицей
квадратичной формы −f ( y ) является матрица −А, противоположная мат-
рице А квадратичной формы f ( y ). Согласно критерию Сильвестра для по-
ложительной определенности квадратичной формы −f ( y ) необходимо и
достаточно, чтобы все угловые миноры ∆′r , r = 1,..., n, матрицы −А были
положительны. Но при умножении матрицы А на число −1 все ее элементы
умножаются на это число и поэтому ∆′r = (−1)r∆r , где ∆r ⎯ угловой минор
порядка r матрицы А. Таким образом, квадратичная форма −f ( y ) положи-
тельно определена тогда и только тогда, когда выполнены неравенства
                                 (−1)r∆r > 0 , r = 1,..., n,
и это условие равносильно тому, что квадратичная форма f ( y ) отрица-
тельно определена.
       Следствие 4.2. Невырожденная квадратичная форма знакопеременна
тогда и только тогда, когда для матрицы квадратичной формы выполнено
хотя бы одно из условий:
       ⎯ один из угловых миноров равен нулю;
       ⎯ один из угловых миноров четного порядка отрицателен;
       ⎯ два угловых минора нечетного порядка имеют разные знаки.
       Невырожденная квадратичная форма может быть либо положитель-
но определенной, либо отрицательно определенной, либо знакопеременной
⎯ в зависимости от знаков коэффициентов в ее каноническом виде. Если