Линейная алгебра. Курзина В.М. - 71 стр.

                                    ⎯ 70 ⎯

                            n −1
                  f (y) =   ∑ λi ( y i + µ i y n ) 2   + λnyn2,
                            i =1
где µ i = bin / λi, i = 1,.., n −1; λ n = bnn − λ 1µ12 − ... − λn-1µ n-12.
        Выполнив линейную замену переменных уi′ = yi + µ i yn, i = 1,.., n − 1,
y′n = yn с невырожденной матрицей, приходим к квадратичной форме ка-
нонического вида
                        f ( y ) = λ1(y′n)2 + ... + λn(y′n)2,
в которой коэффициенты λ1,..., λn-1 положительны. У определителя матри-
цы квадратичной формы знак не зависит от выбора базиса. Итак, в полу-
ченном представлении формы имеем λ1...λn-1λn >0, так как ∆n >0. Отсюда
следует, что λn >0, поскольку все остальные коэффициенты λi положитель-
ны. Таким образом, в полученном представлении все коэффициенты поло-
жительны, и квадратичная форма f ( y ) положительно определена.
       Следствие 4. 1. Для того чтобы квадратичная форма n переменных
была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы выпол-
нялись неравенства: − ∆ 1 > 0 ; ∆ 2 > 0 ; ...; (−1)n ∆n > 0 (знаки угловых ми-
норов чередуются начиная с минуса ).
       Если квадратичная форма f ( y ) отрицательно определена, то квадра-
тичная форма −f ( y ) положительно определена, и наоборот. Матрицей
квадратичной формы −f ( y ) является матрица −А, противоположная мат-
рице А квадратичной формы f ( y ). Согласно критерию Сильвестра для по-
ложительной определенности квадратичной формы −f ( y ) необходимо и
достаточно, чтобы все угловые миноры ∆′r , r = 1,..., n, матрицы −А были
положительны. Но при умножении матрицы А на число −1 все ее элементы
умножаются на это число и поэтому ∆′r = (−1)r∆r , где ∆r ⎯ угловой минор
порядка r матрицы А. Таким образом, квадратичная форма −f ( y ) положи-
тельно определена тогда и только тогда, когда выполнены неравенства
                                 (−1)r∆r > 0 , r = 1,..., n,
и это условие равносильно тому, что квадратичная форма f ( y ) отрица-
тельно определена.
       Следствие 4.2. Невырожденная квадратичная форма знакопеременна
тогда и только тогда, когда для матрицы квадратичной формы выполнено
хотя бы одно из условий:
       ⎯ один из угловых миноров равен нулю;
       ⎯ один из угловых миноров четного порядка отрицателен;
       ⎯ два угловых минора нечетного порядка имеют разные знаки.
       Невырожденная квадратичная форма может быть либо положитель-
но определенной, либо отрицательно определенной, либо знакопеременной
⎯ в зависимости от знаков коэффициентов в ее каноническом виде. Если