Линейная алгебра. Курзина В.М. - 72 стр.

                                 ⎯ 71 ⎯

имеется нулевой угловой минор или один из угловых миноров четного по-
рядка отрицателен, то эта квадратичная форма не является ни положитель-
но, ни отрицательно определенной. То же можно утверждать и в случае,
когда есть два угловых минора нечетного порядка с разными знаками.
Значит, в этих случаях квадратичная форма знакопеременная.
        Критерий Сильвестра и его следствия показывают, что тип квадра-
тичной формы полностью определяется свойствами ее матрицы. Поэтому
введенные термины можно перенести на симметрические матрицы. В ча-
стности, симметрическую матрицу А называют положительно (отрица-
тельно) определенной и пишут А > 0 (А < 0), если положительно (отрица-
тельно) определена соответствующая квадратичная форма, симметриче-
ская матрица положительно определена, если все ее угловые миноры по-
ложительны.
        Следствие 4.3. Если симметрическая матрица положительно опреде-
лена, то все ее диагональные элементы положительны.
        Если А = (аij) ⎯ симметрическая положительно определенная матри-
ца порядка n, то ее первый угловой минор положителен, т. е. а11 = ∆1 > 0.
Воспользовавшись тем, что утверждение следствия верно для диагональ-
ного элемента а11, докажем, что и аii > 0 при i > 1. В квадратичной форме
хТАх, х = (х1, ..., хn)Т сделаем замену переменных х1 = уi, хi = у1, хj = yj при
j ≠ 1, i. В новых переменных матрица А′ = (а ′ij) квадратичной формы тако-
ва, что аii = а11 > 0 .
        Пример 4. 12. Квадратичная форма хТАх от трех переменных с мат-
рицей
                                            ⎛ 1 0 − 1⎞
                                            ⎜        ⎟
                                      А= ⎜ 0 1 1 ⎟
                                            ⎜ −1 1 3 ⎟
                                            ⎝        ⎠
положительно определена, так как ∆1 = ∆2 = ∆3 = 1 > 0.
        Пример 4. 13. Квадратичная форма хТАх от трех переменных с мат-
рицей
                                          ⎛ 1 −3 1 ⎞
                                          ⎜          ⎟
                                      А = ⎜ − 3 1 − 1⎟
                                          ⎜ 1 −1 5 ⎟
                                          ⎝          ⎠
является знакопеременной, так как она невырожденная (∆3 ≠ 0) и
                       ∆1 = 1 > 0 , а ∆2 = − 8 < 0.
        Пример 4.14. Квадратичная форма 2х1х2 от двух переменных являет-
ся знакопеременной, так как она невырожденная (∆2 = −1 ≠ 0), а ∆1 = 0.
        Пример 4.15. Квадратичная форма f (x1, x2 , x3 , x4) = 4x1x3 +2x2x4 + x42
имеет угловые миноры ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0, ∆4 = 4 и, следовательно, является
знакопеременной. В этом можно убедиться, используя несложное преобра-
зование квадратичной формы :