Линейная алгебра. Курзина В.М. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

⎯
73
⎯
В различных канонических видах данной квадратичной формы оста-
ется неизменным не только количество ненулевых коэффициентов, но и
количество положительных и соответственно отрицательных коэффициен-
тов. Объединяя это с доказанной теоремой, получаем следующее утвер-
ждение.
Теорема 4. 6. Для любых двух канонических видов:
f
1
(у
1
, ..., у
m
) = λ
1
у
1
2
+ ... + λ
m
у
m
2
, λ
i
≠ 0, i = 1, ..., m;
f
2
(z
1
, ..., z
k
) = µ
1
z
1
2
+ ... + µ
k
z
k
2
, µ
j
≠ 0, j = 1, ..., k,
одной и той же квадратичной формы
m = k, и ранг квадратичной формы
равен этому числу; количество положительных коэффициентов λ
i
совпада-
ет с количеством положительных коэффициентов µ
j
; количество отрица-
тельных коэффициентов λ
i
совпадает с количеством отрицательных коэф-
фициентов µ
j
.
В самом деле, согласно теореме 4.5 количество ненулевых коэффи-
циентов в обеих квадратичных формах одинаково, т. е.
m = k. Пусть в этих
канонических видах положительные коэффициенты предшествуют отри-
цательным, так что мы можем переписать их следующим образом:
f
1
(у) = α
1
у
1
2
+ ... + α
p
у
p
2
− α
p+1
у
p+1
2
−... − α
k
у
k
2
, (4.2)
f
2
(z) = β
1
z
1
2
+ ... + β
q
z
q
2
− β
q+1
z
q+1
2
− ... − β
k
z
k
2
,
где α
i
> 0, i = 1,..., k; β
j
> 0, j = 1,..., k.
Этого всегда можно добиться изменением порядка переменных. До-
кажем, что
р = q. Пусть это не так, и для определенности будем считать,
что
p > q.
Обозначим через
e = ( e
1
,..., e
n
) и b = (b
1
,..., b
n
) базисы, в которых
записаны канонические виды
f
1
(у) и f
2
(z) квадратичной формы. Покажем,
что существует ненулевой вектор
x
с координатами у
1
, ..., у
n
в базисе e и
с координатами
z
1
, ..., z
n
в базисе b, такой, что одновременно выполняют-
ся условия
у
i
= 0, i = p + 1, ..., n, z
j
= 0, j = 1, ..., q. Поскольку координаты z
j
линейным образом выражаются через координаты у
i
: z
j
= u
j1
у
1
+ ... + u
jn
у
n
,
j = 1, ..., n, причем, составленная из коэффициентов при координатах у
j
в
этих соотношениях матрица
U = (u
ij
) является не чем иным, как матрицей
перехода из базиса
b в базис e , то условия, поставленные для вектора
x
,
составляют однородную систему линейных алгебраических уравнений от-
носительно переменных
у
j
:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=
=
+
.0...
..............................
;0...
;0
...........
;0
1
1
1111
1
nqn
q
nn
n
p
yuyu
yuyu
y
y
                                   ⎯ 73 ⎯

       В различных канонических видах данной квадратичной формы оста-
ется неизменным не только количество ненулевых коэффициентов, но и
количество положительных и соответственно отрицательных коэффициен-
тов. Объединяя это с доказанной теоремой, получаем следующее утвер-
ждение.
       Теорема 4. 6. Для любых двух канонических видов:
                f1 (у1, ..., уm) = λ1у12 + ... + λmуm2 , λi ≠ 0, i = 1, ..., m;
                f2 (z1, ..., zk ) = µ1z12 + ... + µkzk2, µj ≠ 0, j = 1, ..., k,
одной и той же квадратичной формы m = k, и ранг квадратичной формы
равен этому числу; количество положительных коэффициентов λi совпада-
ет с количеством положительных коэффициентов µj; количество отрица-
тельных коэффициентов λi совпадает с количеством отрицательных коэф-
фициентов µj .
       В самом деле, согласно теореме 4.5 количество ненулевых коэффи-
циентов в обеих квадратичных формах одинаково, т. е. m = k. Пусть в этих
канонических видах положительные коэффициенты предшествуют отри-
цательным, так что мы можем переписать их следующим образом:
          f1 (у) = α1у12 + ... + αpуp2 − αp+1уp+12 −... − α kуk2,               (4.2)
                         2              2                2                2
          f2 (z) = β1z1 + ... + βqzq − βq+1zq+1 − ... − βkzk ,
где α i > 0, i = 1,..., k; βj > 0, j = 1,..., k.
       Этого всегда можно добиться изменением порядка переменных. До-
кажем, что р = q. Пусть это не так, и для определенности будем считать,
что p > q.
       Обозначим через e = ( e 1,..., e n) и b = ( b 1,..., b n) базисы, в которых
записаны канонические виды f1 (у) и f2 (z) квадратичной формы. Покажем,
что существует ненулевой вектор x с координатами у1, ..., уn в базисе e и
с координатами z1, ..., zn в базисе b , такой, что одновременно выполняют-
ся условия уi = 0, i = p + 1, ..., n, zj = 0, j = 1, ..., q. Поскольку координаты zj
линейным образом выражаются через координаты уi: zj = uj1у1 + ... + ujn уn ,
j = 1, ..., n, причем, составленная из коэффициентов при координатах уj в
этих соотношениях матрица U = (uij) является не чем иным, как матрицей
перехода из базиса b в базис e , то условия, поставленные для вектора x ,
составляют однородную систему линейных алгебраических уравнений от-
носительно переменных уj:
                                        ⎧           y p +1 = 0;
                                        ⎪            ...........
                                        ⎪
                                        ⎪⎪           y n = 0;
                                         ⎨
                                         ⎪u11 y1 + ... + u1n y n = 0;
                                         ⎪ ..............................
                                         ⎪
                                         ⎪⎩u q1 y1 + ... + u qn y n = 0.

Страницы