Линейная алгебра. Курзина В.М. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

⎯
74
⎯
относительно координат вектора у
i
вектора
x
. Так как уравнений меньше
числа неизвестных (n − p + q < n), эта система имеет ненулевое решение.
Следовательно, существует вектор
x
≠0, удовлетворяющий поставленным
условиям. Но для этого вектора, согласно представлениям квадратичной
формы (4.2) , имеем:
f (
x
) = f
1
(у) = α
1
у
1
2
+ ... + α
p
у
p
2
> 0;
f (
x
) = f
2
(z) = − β
q+1
z
q+1
2
− ... − β
k
z
k
2
≤ 0.
Первое неравенство является строгим, так как все координаты у
i
век-
тора
x
, начиная с номера p + 1, являются ненулевыми, а ненулевой вектор
должен иметь хотя бы одну ненулевую координату. Два взаимоисклю-
чающих равенства показывают, что предположение р
≠
q не верно. Значит,
р = q, т. е. количество положительных коэффициентов в двух канониче-
ских видах одинаково. Тогда и количество отрицательных коэффициентов
в них совпадает, так как совпадает количество ненулевых коэффициентов.
Доказанная теорема о сохранении числа положительных, отрица-
тельных и нулевых коэффициентов в каноническом виде, независимо от
способа приведения квадратичной формы к сумме квадратов, называется
законом инерции. 
                               ⎯ 74 ⎯

относительно координат вектора уi вектора x . Так как уравнений меньше
числа неизвестных (n − p + q < n), эта система имеет ненулевое решение.
Следовательно, существует вектор x ≠ 0, удовлетворяющий поставленным
условиям. Но для этого вектора, согласно представлениям квадратичной
формы (4.2) , имеем:
             f ( x ) = f1 (у) = α1у12 + ... + αpуp2 > 0;
             f ( x ) = f2 (z) = − βq+1zq+1 2 − ... − βkzk2 ≤ 0.
      Первое неравенство является строгим, так как все координаты уi век-
тора x , начиная с номера p + 1, являются ненулевыми, а ненулевой вектор
должен иметь хотя бы одну ненулевую координату. Два взаимоисклю-
чающих равенства показывают, что предположение р ≠ q не верно. Значит,
р = q, т. е. количество положительных коэффициентов в двух канониче-
ских видах одинаково. Тогда и количество отрицательных коэффициентов
в них совпадает, так как совпадает количество ненулевых коэффициентов.
      Доказанная теорема о сохранении числа положительных, отрица-
тельных и нулевых коэффициентов в каноническом виде, независимо от
способа приведения квадратичной формы к сумме квадратов, называется
законом инерции.

Страницы