Линейная алгебра. Курзина В.М. - 77 стр.

                                     ⎯ 76 ⎯

                   ∂ϕ i
формулам aik =          , т. е. являются частными производными функций ϕ1 ,
                   ∂x k
ϕ2 ,..., ϕn.
         Пример П.1. В случае двумерного пространства фукциональный оп-
ределитель будет определителем второго порядка
                                   ⎛ ∂ϕ1 ∂ϕ1 ⎞
                                   ⎜           ⎟
                                   ⎜ ∂x1 ∂x2 ⎟
                                ∆=               .
                                   ⎜ ∂ϕ 2 ∂ϕ 2 ⎟
                                   ⎜           ⎟
                                   ⎝ ∂x1 ∂x2 ⎠
         Если мы переходим на плоскости от координат х, у к некоторым дру-
гим координатам u, v по формулам х = ϕ1(u, v), у = ϕ2(u, v), то ⏐∆⏐ дает
коэффициент изменения площади при данном точечном преобразовании.
         Совершенно так же можно рассматривать одну функцию от одной
переменной u = f (x) как точечное преобразование на оси ОХ, при котором
точка с абсциссой х переходит в новое положение с абсциссой u. При этом,
очевидно, абсолютное значение производной ⏐f ′(x)⏐ характеризует изме-
нения линейного размера в данном месте. Выясненная аналогия между
функциональным определителем и производной имеет своим следствием и
некоторую аналогию между их формальными свойствами. Так, функцио-
нальный определитель от сложной функции определяется как произведе-
ние функциональных определителей составляющих ее функций, аналогич-
но правилу дифференцирования сложной функции одной независимой пе-
ременной. Произведение функциональных определителей прямого и об-
ратного преобразований равно единице. Это свойство аналогично свойству
производной обратной функции для случая одного независимого перемен-
ного. Тождественное равенство нулю функционального определителя яв-
ляется необходимым и достаточным условием зависимости между функ-
циями ϕ1, ϕ2 ,..., ϕn . Тождественное преобразование ϕ1 = х1, ϕ2 = х2,..., ϕn =
хn имеет функциональный единичный определитель
                                 1 0 0 ... 0
                            0 1 0 ... 0
                            0 0 1 ... 0 = 1.
                           ... ... .. ... ..
                            0 0 0 ... 1
     Нетрудно проверить, что для множества функциональных определи-
телей выполняются все аксиомы линейного пространства.
     Функциональный определитель от частных производных ϕ1 = ∂ f ,
                                                                        ∂ x1
        ∂f               ∂f
 ϕ2 =        , ..., ϕn =      , вычисленный в точке р , вида
        ∂x 2             ∂x n