Линейная алгебра. Курзина В.М. - 79 стр.

                                     ⎯ 78 ⎯

     Как и в случае функции одной переменной, точки, в которых все ча-
стные производные равны нулю, называются критическими, стационарны-
ми или точками, "подозрительными" на экстремум. В критических точках
не обязательно будет экстремум, т. е. равенство нулю частных производ-
ных ⎯ условие необходимое, но не достаточное.
     Например, рассмотрим функцию z = xy (x ∈ R; y ∈ R). Частные про-
изводные z ′x = y и z ′y = х. Критические точки функции найдем из условия
z ′x = y = 0 и z ′y = х = 0, т. е. х = 0, y = 0. Итак, точка (0, 0) ⎯ критическая,
но она не является точкой экстремума, так как в ее окрестности функция
z = xy может принимать и положительные и отрицательные значения.
        Теорема П.2(достаточные условия существования экстремума).
        Если функция z = f (x1,..., xn) имеет в некоторой окрестности точки М0
непрерывные вторые частные производные и если в этой точке выполня-
ются необходимые условия существования экстремума, то в случае, когда
вычисленный в точке М0 второй дифференциал функции
                n n ∂2 f
        df = ∑∑
         2
                                 M 0 ∆хi∆хk ⎯ отрицательно определенная квадра-
                       ∂
              i =1 k =1 ix ∂ x k
тичная форма, функция z = f (x1,..., xn) имеет в точке М0 максимум, а в
случае, когда этот дифференциал ⎯ положительно определенная квадра-
тичная форма, функция z = f (x1,..., xn) имеет в точке М0 минимум.
        Пример П.2 . Исследовать на экстремум функцию
                                       z = 2x2 + y2 − 4x + 8y − 7.
        Находим: z ′x = 4х − 4, z ′y = 2у + 8. Критические точки найдем из усло-
вия z ′x = 4х − 4 = 0 и z ′y = 2у + 8 = 0, т. е. х = 1, y = − 4. Находим: z ′xx′ = 4,
z ′xy′ = 0, z ′yy
               ′ = 2. Составляем матрицу А квадратичной формы
           ⎛ 4 0⎞
      А = ⎜⎜     ⎟⎟ .
           ⎝ 0 2  ⎠
      Так как все угловые миноры матрицы положительны, то эта квадра-
тичная форма положительно определена, а значит, в точке (1, − 4) функция
z имеет минимум и z min = 2 + 16 − 4 − 32 − 7 = − 25.