Линейная алгебра. Курзина В.М. - 78 стр.

                                     ⎯ 77 ⎯

                                    ∂ 2 f ( x)     ∂ 2 f ( x)
                                               ...
                                     ∂x1∂x1        ∂x1∂x n       n   n
                          Н (х) =      ...   ...    ...    =    ∑ ∑ a ij xi x j ,
                                    ∂ f ( x)
                                     2
                                                 ∂ f ( x)
                                                  2             i =1 j =1
                                             ...
                                    ∂x n ∂x1     ∂x n ∂x n
          ∂ 2 f ( p)
где аij =             и f (p) ⎯ функция, заданная в n-мерном действительном
           ∂ x i ∂x j
пространстве Rn с координатами x1,..., xn, был введен в 1844 году О. Гессе
для решения задач о поведении функции нескольких переменных и назван
его именем.
      Итак, Гессиан ⎯ определитель n-го порядка, элементами которого
являются вторые частные производные функции n переменных. Из пред-
ставления Гессиана видно, что он является квадратичной формой, задан-
ной на касательном пространстве и не зависящей от выбора системы коор-
динат.


      П.3. Локальный экстремум функции нескольких переменных

      Приведем пример применения квадратичной формы .
      Рассмотрим функцию z = f (x1,..., xn) определенную в области D ∈ Rn,
и пусть M0(x01,..., x0n) ⎯ точка этой области. Говорят, что z = f (M) имеет в
точке М0 (локальный)максимум (минимум), если существует δ-окрестность
точки М0, такая, что для всех точек этой окрестности выполняется нера-
венство f (M0) > f (M) (соответственно f (M0) < f (M)). Для обозначения
минимума и максимума функции нескольких переменных, как и для функ-
ции одной переменной, употребляется общий термин ⎯ "экстремум". Ло-
кальный экстремум является внутренним экстремумом или граничным
экстремумом, если точка М0 является соответственно внутренней или гра-
ничной точкой области определения D функции z = f (x1,..., xn).
      Теорема П.1. ( необходимое условие существования экстремума).
Предположим, что в точке M0 функция имеет экстремум. Тогда, если в
этой точке существуют конечные частные производные, то все они в этой
точке равны нулю. Равенство нулю частных производных является необ-
ходимым условием существования экстремума.
      Доказательство. Действительно, пусть координаты х2 = x 20 ,..., хn =
= x n0 , тогда z = f (x1, x 20 ,..., x n0 ) ⎯ функция одной переменной, и так как в
точке М0 существует экстремум, то f ′x1 = 0. Таким же образом можно дока-
зать, что все остальные частные производные равны нулю, т. е. f ′x1 = 0, ... ,
f ′xn = 0.