Линейная алгебра. Курзина В.М. - 76 стр.

                                       ⎯ 75 ⎯

                                                                Приложение

       П.1. Итерационный метод для вычисления максимального
         (минимального) собственного значения матрицы
       Метод итерации ⎯ численный метод последовательного приближе-
ния к решению. Рассмотрим итерационный метод для вычисления макси-
мального(минимального) собственного значения λмах матрицы А, имеющей
только действительные собственные значения. Если наибольшее по моду-
лю собственное значение λмах ⎯ простое, то, начиная с произвольного на-
чального вектора x 0, например (1,0, ...,0), вычисляют последовательно
произведения x k+1 = αk А x k , (k = 0, 1, 2, ...), где αk ⎯ подходящий множи-
тель, выбираемый, например, так, чтобы наибольшая по модулю координа-
та вектора x k+1 равнялась 1. При возрастании k векторы хk будут прибли-
жаться к собственному вектору, принадлежащему собственному значению
λмах. Последнее можно вычислить по формуле
                                        n   n

                        ( x , Ax )
                                       ∑ ∑ aik xi xk
                 λмах =            =   i =1 k =1            .
                                              n
                         ( x, x)                        2
                                            ∑      xi
                                            i =1
       Этот метод сходится тем быстрее, чем значительнее отличается
⏐λмах⏐от модулей остальных собственных значений матрицы А и чем бли-
же направление начального вектора x 0 к направлению искомого собствен-
ного вектора. Если x 0 = (1, 0, ..., 0) не удовлетворяет этому условию, то
пробуют вектор (0, 1, 0,..., 0) и т. д. Можно ускорить сходимость путем
применения в формуле матрицы А2 или А3 вместо матрицы А. Последую-
щие собственные значения и собственные векторы находят после приведе-
ния матрицы А.
       Если наибольшее по модулю собственное значение λмах имеет крат-
ность больше единицы, то последовательность векторов, определенных
формулой, сходится к одному из собственных векторов, принадлежащих
λмах . Выбирая различные начальные векторы x 0, можно построить все ли-
нейно независимые собственные векторы инвариантного пространства,
принадлежащего собственному значению λмах .


      П.2. Гессиан

      Пусть имеется n функций от n переменных x 1,..., xn : ϕ1, ϕ2,..., ϕn.
Функциональным определителем от этих функций по переменным хs назы-
вается определитель n-го порядка, элементы aik которого определяются по