Линейная алгебра. Курзина В.М. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

⎯
80
⎯
А
m
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
001
011
111
и векторы
x
1
,
x
2
,
x
3
заданы своими координатами в некотором базисе
x
1
= (а
1
, −1, 1),
x
2
= (3, −2, − а
2
),
x
3
= (−1, − а
3
, −3 ).
7. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы неко-
торого линейного оператора
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
2
1
4
2
a
a
.
8. Для симметрической матрицы заданной квадратичной формы
а
2
х
2
+ а
3
у
2
+ а
4
ху найти подобную ей диагональную матрицу А′ = Р
-1
АР и
соответствующую ей ортогональную матрицу Р. Выяснить, является ли за-
данная квадратичная форма положительно определенной ?
ВАРИАНТ 2
1. В линейном пространстве V
3
заданы 3 вектора
x
1
= (1, 4, а
1
),
x
2
= (1, −1, а
2
) ,
x
3
= (а
3
, 1, −6). Выяснить, является ли система этих векто-
ров линейно зависимой. Если система линейно зависима, то найти зависи-
мость между векторами (нулевую нетривиальную комбинацию векторов).
2. Найти координаты многочлена Р
3
(х) = а
1
+ а
2
х + а
3
х
2
+ а
4
х
3
в ба-
зисе 1, (1 + х), (1 + х)
2
, (1 + х)
3
.
3. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства L про-
странства R
3
, если L задано уравнением х
1
+ а
3
х
2
+ а
4
х
3
= 0.
4. Найти размерность и базис линейной оболочки следующих векто-
ров:
x
1
= (7 , а
1
, −3 );
x
2
= ( а
2
, 2 , −4 ) ;
x
3
= (3 , −3 , а
3
).
5. Проверить, что заданные векторы
e
1
= (1, −1, 1); e
2
= (3, 3, 0);
e
3
= (1,−1,−2) образуют ортогональный базис, и для вектора
x
=(−а
1
, а
2
, а
3
)
найти разложение по этому базису. 
                                         ⎯ 80 ⎯

                                 ⎛1 1 1 ⎞
                                 ⎜      ⎟
                            Аm = ⎜1 1 0 ⎟
                                 ⎜1 0 0 ⎟
                                 ⎝      ⎠
и векторы x 1 , x 2, x 3 заданы своими координатами в некотором базисе x 1
= (а1, −1, 1), x 2 = (3, −2, − а2), x 3= (−1, − а3, −3 ).
       7. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы неко-
                            ⎛a 2 ⎞
торого линейного оператора ⎜⎜ 1   ⎟⎟ .
                            ⎝ 4 a2⎠

       8. Для симметрической матрицы заданной квадратичной формы
а2 х2 + а3 у2 + а4ху    найти подобную ей диагональную матрицу А′ = Р-1АР и
соответствующую ей ортогональную матрицу Р. Выяснить, является ли за-
данная квадратичная форма положительно определенной ?
              ВАРИАНТ 2
                                                3
       1. В линейном пространстве V                 заданы 3 вектора x 1 = (1, 4, а1 ),
x 2 = (1, −1, а2 ) , x 3 = (а3, 1, −6). Выяснить, является ли система этих векто-
ров линейно зависимой. Если система линейно зависима, то найти зависи-
мость между векторами (нулевую нетривиальную комбинацию векторов).
       2. Найти координаты многочлена Р3 (х) = а1 + а2 х + а3 х2 + а4 х3 в ба-
зисе 1, (1 + х), (1 + х)2, (1 + х)3.
       3. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства L про-
странства R 3, если L задано уравнением               х1 + а3х2 + а4х3 = 0.
       4. Найти размерность и базис линейной оболочки следующих векто-
ров: x 1 = (7 , а 1 , −3 ); x 2 = ( а2 , 2 , −4 ) ; x 3 = (3 , −3 , а3 ).
       5. Проверить, что заданные векторы e 1 = (1, −1, 1); e 2 = (3, 3, 0);
e 3 = (1,−1,−2) образуют ортогональный базис, и для вектора x =(−а1, а2, а3)
найти разложение по этому базису.

Страницы