Линейная алгебра. Курзина В.М. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

⎯
81
⎯
6. Определить координаты векторов А(
x
i
), i =1, 2, 3, если линейный
оператор, осуществляющий преобразование А: R
3
→ R
3
, задан матрицей
А
m
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
114
131
211
и векторы
x
1
,
x
2
,
x
3
заданы своими координатами в некотором базисе
x
1
= (а
1
, 2, 1);
x
2
= (−2, 4, а
2
);
x
3
= (3, − а
3
, −3 ).
7. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы неко-
торого линейного оператора
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
4
3
1
3
a
a
.
8. Для симметрической матрицы некоторой квадратичной формы
а
1
х
2
+ а
2
у
2
+ а
3
ху найти подобную ей диагональную матрицу А′ = Р
-1
АР и
соответствующую ей ортогональную матрицу Р. Выяснить, является ли
квадратичная форма положительно определенной ?
ВАРИАНТ 3
1. В линейном пространстве V
3
заданы 3 вектора
x
1
= (2, 1, а
1
);
x
2
= (−5 , 0 , а
2
);
x
3
= (а
3
, 4, 3). Выяснить, является ли система этих векто-
ров линейно зависимой. Если система линейно зависима, то найти зависи-
мость между векторами (нулевую нетривиальную комбинацию векторов).
2. Найти координаты многочлена Р
3
(х) = а
1
+ а
2
х + а
3
х
2
+ а
4
х
3
в ба-
зисе 1, (х − 2), (х − 2)
2
, (х − 2)
3
.
3. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства L про-
странства R
3
, если L задано уравнением х
1
− а
1
х
2
+ а
2
х
3
= 0.
4. Найти размерность и базис линейной оболочки следующих векто-
ров:
x
1
= (1, а
1
, 1);
x
2
= (а
2
, 2, 3);
x
3
= (1, 2, а
3
). 
                                          ⎯ 81 ⎯

       6. Определить координаты векторов А( x i), i =1, 2, 3, если линейный
оператор, осуществляющий преобразование А: R 3→ R 3 , задан матрицей
                                  ⎛1 1 2⎞
                                  ⎜       ⎟
                             Аm = ⎜ 1 3 1 ⎟
                                  ⎜4 1 1⎟
                                  ⎝       ⎠
и векторы x 1, x 2, x 3 заданы своими координатами в некотором базисе x 1
= (а1, 2, 1); x 2 = (−2, 4, а2 ); x 3 = (3, − а3, −3 ).
       7. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы неко-
                            ⎛a             3⎞
торого линейного оператора ⎜⎜ 3                ⎟.
                            ⎝1             a4 ⎟⎠

       8. Для симметрической матрицы некоторой квадратичной формы
а1х2 + а2 у2 + а3ху найти подобную ей диагональную матрицу А′ = Р -1АР и
соответствующую ей ортогональную матрицу Р. Выяснить, является ли
квадратичная форма положительно определенной ?
              ВАРИАНТ 3
       1. В линейном пространстве V 3 заданы 3 вектора x 1 = (2, 1, а1);
x 2 = (−5 , 0 , а2 ); x 3 = (а3 , 4, 3). Выяснить, является ли система этих векто-
ров линейно зависимой. Если система линейно зависима, то найти зависи-
мость между векторами (нулевую нетривиальную комбинацию векторов).
       2. Найти координаты многочлена Р3 (х) = а1 + а2 х + а3 х2 + а4 х3 в ба-
зисе 1, (х − 2), (х − 2)2, (х − 2)3.
       3. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства L про-
странства R 3, если L задано уравнением х1 − а1х2 + а2х3 = 0.
       4. Найти размерность и базис линейной оболочки следующих векто-
ров: x 1 = (1, а1, 1); x 2 = (а2 , 2, 3); x 3 = (1, 2, а3).

Страницы