Линейная алгебра. Курзина В.М. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

⎯
82
⎯
5. Проверить, что векторы e
1
= (2, 1, −2); e
2
= (−1, 4, 1); e
3
= (1, 0, 1)
образуют ортогональный базис, и для заданного вектора
x
= (а
1
, а
2
, а
3
)
найти разложение по этому базису.
6. Определить координаты векторов
А (
x
i
) , i =1, 2, 3, если линей-
ный оператор, осуществляющий преобразование А: R
3
→ R
3
, задан мат-
рицей
А
m
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
010
131
112
и векторы
x
1
,
x
2
,
x
3
заданы своими координатами в некотором базисе
x
1
= (а
1
, 2, 3);
x
2
= (−1, 2, − а
2
) ;
x
3
= (4, − a
3
, 1 ).
7. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы неко-
торого линейного оператора
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
3
1
4
5
a
a
.
8. Для симметрической матрицы заданной квадратичной формы
а
2
х
2
+ а
3
у
2
+а
1
ху найти подобную ей диагональную матрицу А′ = Р
-1
АР и
соответствующую ей ортогональную матрицу Р. Выяснить, является ли за-
данная квадратичная форма положительно определенной ?
ВАРИАНТ 4
1. В линейном пространстве V
3
заданы 3 вектора
x
1
= (5, 3, а
1
);
x
2
=
(−1, −6, − а
2
);
x
3
= (а
3
, −1, 1). Выяснить, является ли система этих векторов
линейно зависимой. Если система линейно зависима, то найти зависимость
между векторами (нулевую нетривиальную комбинацию векторов).
2. Найти координаты многочлена Р
3
(х) = а
1
+ а
2
х + а
3
х
2
+ а
4
х
3
в
базисе 1, (х + 2), (х + 2)
2
, (х + 2)
3
.
3. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства L про-
странства R
3
, если L задано уравнением х
1
− а
1
х
2
+ а
3
х
3
= 0 . 
                                         ⎯ 82 ⎯

        5. Проверить, что векторы e 1 = (2, 1, −2); e 2 = (−1, 4, 1); e 3 = (1, 0, 1)
образуют ортогональный базис, и для заданного вектора x = (а1, а2, а3)
найти разложение по этому базису.
        6. Определить координаты векторов А ( x i) , i =1, 2, 3, если линей-
ный оператор, осуществляющий преобразование А: R 3→ R 3 , задан мат-
рицей
                         ⎛ 2 1 − 1⎞
                         ⎜         ⎟
                    Аm = ⎜ − 1 3 1 ⎟
                         ⎜0 1 0⎟
                         ⎝         ⎠
и векторы x 1 , x 2, x 3 заданы своими координатами в некотором базисе x 1
= (а1, 2, 3); x 2 = (−1, 2, − а2) ; x 3 = (4, − a3, 1 ).
        7. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы неко-
                            ⎛a 5 ⎞
торого линейного оператора ⎜⎜ 1   ⎟⎟ .
                            ⎝ 4 a3⎠

        8. Для симметрической матрицы заданной квадратичной формы
а2 х2 + а3 у2 +а1ху найти подобную ей диагональную матрицу А′ = Р-1АР и
соответствующую ей ортогональную матрицу Р. Выяснить, является ли за-
данная квадратичная форма положительно определенной ?
              ВАРИАНТ 4
        1. В линейном пространстве V 3 заданы 3 вектора x 1= (5, 3, а1); x 2=
(−1, −6, − а2); x 3= (а3, −1, 1). Выяснить, является ли система этих векторов
линейно зависимой. Если система линейно зависима, то найти зависимость
между векторами (нулевую нетривиальную комбинацию векторов).
        2. Найти координаты многочлена Р3 (х) = а1 + а2 х + а3 х2 + а4 х3 в
базисе 1, (х + 2), (х + 2)2, (х + 2)3.
        3. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства L про-
странства R 3, если L задано уравнением х1 − а1х2 + а3х3 = 0 .

Страницы