Линейная алгебра. Курзина В.М. - 84 стр.

                                         ⎯ 83 ⎯

        4. Найти размерность и базис линейной оболочки следующих векто-
ров: x 1 = (1, − а3 , 1); x 2 = (а2 , 3, −1); x 3 = (−1 , −2 , а4 ).
        5. Проверить, что векторы e 1 = (1, −2, 0); e 2 = (0, 0, 4); e 3 = (2, 1, 0)
образуют ортогональный базис и для вектора                 x = (а1, а2, а3) найти разло-
жение по этому базису.
        6. Определить координаты векторов А ( x i) , i =1, 2, 3, если линей-
ный оператор, осуществляющий преобразование А: R 3→ R 3, задан матри-
цей
                             ⎛ 7 − 4 4⎞
                             ⎜        ⎟
                        Am = ⎜ 2 3 2 ⎟
                             ⎜ 2 0 5⎟
                             ⎝        ⎠
и векторы x 1 , x 2, x 3 заданы своими координатами в некотором базисе x 1
= (а1, − 4, 1); x 2 = (1, −2, −а2); x 3= (3, − а3, −1 ).
        7. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы неко-
                            ⎛a             3⎞
торого линейного оператора ⎜⎜ 1                ⎟.
                            ⎝2            a 2 ⎟⎠

        8. Для симметрической матрицы заданной квадратичной формы
а1 х2 + а3 у2 +а4ху найти подобную ей диагональную матрицу А′ = Р-1АР и
соответствующую ей ортогональную матрицу Р. Выяснить, является ли за-
данная квадратичная форма положительно определенной ?
              ВАРИАНТ 5
        1. В линейном пространстве V 3 заданы 3 вектора                 x 1 = (5,−6, а1);
x 2 = (3, −5, − а2); x 3 = (а3, −1, 3). Выяснить, является ли система этих век-
торов линейно зависимой. Если система линейно зависима, то найти зави-
симость между векторами (нулевую нетривиальную комбинацию векто-
ров).