ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
⎯
84
⎯
2. Найти координаты многочлена Р
3
(х) = а
1
+ а
2
х + а
3
х
2
+ а
4
х
3
в ба-
зисе 1, (2х − 1), (2x − 1)
2
, (2х − 1)
3
.
3. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства L про-
странства R
3
, если L задано уравнением х
1
− а
2
х
2
+ а
4
х
3
= 0.
4. Найти размерность и базис линейной оболочки следующих векто-
ров:
x
1
= (1 , − а
1
, 5 );
x
2
= (а
2
, −2 , −3 );
x
3
= (− 4, 2, а
3
).
5. Проверить, что векторы
трехмерного пространства e
1
= (2, 3, 5);
e
2
= (2, −3, 1); e
3
= (−9, −4, 6) образуют ортогональный базис, и для задан-
ного вектора
x
= (а
1
, а
2
, а
3
) найти разложение по этому базису.
6. Определить координаты векторов
А (
x
i
) , i =1, 2, 3, если линей-
ный оператор , осуществляющий преобразование А: R
3
→ R
3
, задан мат-
рицей
А
m
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
211
131
114
и векторы
x
1
,
x
2
,
x
3
заданы своими координатами в некотором базисе
x
1
= (а
1
, 1, −1);
x
2
= (1, −1, а
2
) ;
x
3
= (−1, − а
3
, −2).
7. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы неко-
торого линейного оператора
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
4
3
2
6
a
a
.
8. Для симметрической матрицы заданной квадратичной формы
а
2
х
2
+ а
1
у
2
+а
3
ху найти подобную ей диагональную матрицу А′ = Р
-1
АР и
соответствующую ей ортогональную матрицу Р. Выяснить, является ли за-
данная квадратичная форма положительно определенной ?
⎯ 84 ⎯
2. Найти координаты многочлена Р3 (х) = а1 + а2 х + а3 х2 + а4 х3 в ба-
зисе 1, (2х − 1), (2x − 1)2, (2х − 1)3.
3. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства L про-
странства R 3, если L задано уравнением х1 − а2х2 + а4х3 = 0.
4. Найти размерность и базис линейной оболочки следующих векто-
ров: x 1 = (1 , − а1 , 5 ); x 2 = (а2 , −2 , −3 ); x 3 = (− 4, 2, а3 ).
5. Проверить, что векторы трехмерного пространства e 1 = (2, 3, 5);
e 2 = (2, −3, 1); e 3 = (−9, −4, 6) образуют ортогональный базис, и для задан-
ного вектора x = (а1, а2, а3) найти разложение по этому базису.
6. Определить координаты векторов А ( x i) , i =1, 2, 3, если линей-
ный оператор , осуществляющий преобразование А: R 3→ R 3, задан мат-
рицей
⎛4 1 1⎞
⎜ ⎟
Аm = ⎜ 1 3 1 ⎟
⎜1 1 2⎟
⎝ ⎠
и векторы x 1 , x 2, x 3 заданы своими координатами в некотором базисе x 1
= (а1, 1, −1); x 2 = (1, −1, а2 ) ; x 3 = (−1, − а3, −2).
7. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы неко-
⎛a 6⎞
торого линейного оператора ⎜⎜ 3 ⎟.
⎝2 a4 ⎟⎠
8. Для симметрической матрицы заданной квадратичной формы
а2 х2 + а1 у2 +а3ху найти подобную ей диагональную матрицу А′ = Р-1АР и
соответствующую ей ортогональную матрицу Р. Выяснить, является ли за-
данная квадратичная форма положительно определенной ?
