Линейная алгебра. Курзина В.М. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

⎯
72
⎯
f (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) = (x
1
+ x
3
)
2
− x
2
2
− (х
1
−
x
3
)
2
+ (х
2
+ x
4
)
2
.
4.7. Закон инерции
Квадратичная форма может быть приведена к различным канониче-
ским видам. Например, для квадратичной формы
f (х
1
, х
2
) = х
1
− 4х
1
х
2
най-
дены уже три канонических вида. Но, несмотря на многообразие канони-
ческих видов для данной квадратичной формы, имеются такие характери-
стики их коэффициентов, которые во всех этих канонических видах оста-
ются неизменными. Например, если квадратичная форма преобразовалась
к виду
f ( y ) = λ
1
у
1
2
+ ... + λ
m
у
m
2
, в котором все коэффициенты λ
i
положи-
тельны, то соответствующая этой квадратичной форме функция в линей-
ном пространстве принимает только неотрицательные значения. Значит,
никакой другой канонический вид не может иметь отрицательных коэф-
фициентов, так как наличие отрицательных коэффициентов означает, что
функция имеет и отрицательные значения. Другой важной характеристи-
кой является ранг матрицы квадратичной формы.
Теорема 4.5. Ранг квадратичной формы не меняется при невырож-
денных линейных заменах переменных и равен числу отличных от нуля
коэффициентов в любом ее каноническом виде. Другими словами, ранг
квадратичной формы равен количеству ненулевых собственных значений
матрицы квадратичной формы (с учетом их кратности).
При замене базиса линейного пространства матрица
А квадратичной
формы преобразуется по формуле
А′ = U
Т
АU, в которой U ⎯ матрица пе-
рехода. Матрица
U, как матрица перехода, является невырожденной, по-
этому ранг
А′ совпадает с рангом А, так как при умножении на невырож-
денную матрицу ранг не меняется. Пусть квадратичная форма имеет два
канонических вида:
f
1
(у
1
, ..., у
m
) = λ
1
у
1
2
+ ... + λ
m
у
m
2
и f
2
(z
1
,..., z
k
) = µ
1
z
1
2
+ ... + µ
k
z
k
2
,
в которых все коэффициенты λ
i
и µ
i
ненулевые. Оба канонических вида ⎯
квадратичные формы, представляющие собой одну и ту же функцию на
линейном пространстве, но записанную в разных базисах. Значит, одна из
квадратичных форм получается из другой в результате замены базиса и
ранги их матриц совпадают. Остается заметить, что ранг квадратичной
формы канонического вида равен количеству ненулевых
коэффициентов
этой формы, т. е. в нашем случае
m = k. Квадратичную форму можно при-
вести к каноническому виду ортогональным преобразованием. При этом
коэффициенты квадратичной формы канонического вида (они же диаго-
нальные элементы ее матрицы) будут собственными значениями матрицы
исходной квадратичной формы. Что и требовалось доказать. 
                                     ⎯ 72 ⎯

             f (x1, x2, x3, x4) = (x1 + x3 )2 − x22 − (х1 − x3)2 + (х2 + x4)2.


      4.7. Закон инерции

      Квадратичная форма может быть приведена к различным канониче-
ским видам. Например, для квадратичной формы f (х1, х2) = х1 − 4х1х2 най-
дены уже три канонических вида. Но, несмотря на многообразие канони-
ческих видов для данной квадратичной формы, имеются такие характери-
стики их коэффициентов, которые во всех этих канонических видах оста-
ются неизменными. Например, если квадратичная форма преобразовалась
к виду f ( y ) = λ1у12 + ... + λmуm2, в котором все коэффициенты λi положи-
тельны, то соответствующая этой квадратичной форме функция в линей-
ном пространстве принимает только неотрицательные значения. Значит,
никакой другой канонический вид не может иметь отрицательных коэф-
фициентов, так как наличие отрицательных коэффициентов означает, что
функция имеет и отрицательные значения. Другой важной характеристи-
кой является ранг матрицы квадратичной формы.
      Теорема 4.5. Ранг квадратичной формы не меняется при невырож-
денных линейных заменах переменных и равен числу отличных от нуля
коэффициентов в любом ее каноническом виде. Другими словами, ранг
квадратичной формы равен количеству ненулевых собственных значений
матрицы квадратичной формы (с учетом их кратности).
      При замене базиса линейного пространства матрица А квадратичной
формы преобразуется по формуле А′ = U ТАU, в которой U ⎯ матрица пе-
рехода. Матрица U, как матрица перехода, является невырожденной, по-
этому ранг А′ совпадает с рангом А, так как при умножении на невырож-
денную матрицу ранг не меняется. Пусть квадратичная форма имеет два
канонических вида:
      f1 (у1, ..., уm) = λ1у12 + ... + λmуm2 и f2 (z1,..., zk ) = µ1z12 + ... + µkzk2,
в которых все коэффициенты λi и µi ненулевые. Оба канонических вида ⎯
квадратичные формы, представляющие собой одну и ту же функцию на
линейном пространстве, но записанную в разных базисах. Значит, одна из
квадратичных форм получается из другой в результате замены базиса и
ранги их матриц совпадают. Остается заметить, что ранг квадратичной
формы канонического вида равен количеству ненулевых коэффициентов
этой формы, т. е. в нашем случае m = k. Квадратичную форму можно при-
вести к каноническому виду ортогональным преобразованием. При этом
коэффициенты квадратичной формы канонического вида (они же диаго-
нальные элементы ее матрицы) будут собственными значениями матрицы
исходной квадратичной формы. Что и требовалось доказать.

Страницы