ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
⎯
69
⎯
вой минор максимального, n-го, порядка представляет собой определитель
матрицы.
Теорема 4. 4. о необходимом и достаточном условии положительной
определенности квадратичной формы (
Критерий Сильвестра).
Для того чтобы квадратичная форма от n переменных была положи-
тельно определена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись нера-
венства
∆
1
> 0 , ∆
2
> 0 , ... , ∆
n
> 0 .
Необходимость. Если квадратичная форма положительно определе-
на, то в ее каноническом виде все коэффициенты должны быть положи-
тельны. Значит, и определитель матрицы A квадратичной формы канони-
ческого вида положителен. Невырожденное преобразование квадратичной
формы не меняет знака определителя матрицы А, так как согласно фор-
муле преобразования А
′ = U
Т
АU определитель этой матрицы det (А′) =
= det (U
Т
АU ) = (det U)
2
det А. Поэтому определитель матрицы А′ исходной
канонической формы тоже положителен:
∆
n
> 0 .
Если квадратичная форма f (у
1
,..., у
n
) от n переменных положительно
определена, то квадратичная форма f
k
(
у
1
,..., у
k
) = f
k
(
у
1
,..., у
k
, 0,...., 0) от k
переменных также положительно определена, и, следовательно, определи-
тель ее матрицы положителен. Но этот определитель совпадает с
∆
k
, т. е.
∆
k
> 0 при k = 1,..., n.
Достаточность. Используем метод математической индукции по
количеству n переменных квадратичной формы. При n = 1 утверждение
верно, поскольку из условия
∆
1
= а
11
> 0 следует, что f (у
1
) = а
11
у
1
2
> 0.
Пусть утверждение верно для всех квадратичных форм от k переменных,
k
≤ n − 1. Рассмотрим произвольную квадратичную форму f (
y
) с матри-
цей А = (а
ij
) в базисе
e
= (
e
1
,..,
e
n
), у которой все угловые миноры поло-
жительны. Квадратичная форма f
n1
(у
1
,..., у
n1
) = f (у
1
,..., у
n-1
, 0) от n −1 пе-
ременных определена на линейном подпространстве Н
n-1
= L ( e
1
,..., e
n-1
) и
имеет матрицу, совпадающую с матрицей минора
∆
n-1
. Так как все угловые
миноры для
∆
n-1
, они же угловые миноры матрицы А, положительны, со-
гласно предположению математической индукции квадратичная форма
f
n-1
является положительно определенной. Заменой базиса e
1
,..., e
n-1
подпро-
странства
Н
n-1
новым базисом b
1
,..., b
n-1
мы можем привести квадратич-
ную форму
f
n-1
к диагональному виду:
f
n-1
(у
1
,..., у
n-1
) = λ
1
у
1
2
+ ... + λ
n1
у
n-1
, λ
i
> 0 , i = 1,..., n − 1.
В базисе (
b
1
,...,
b
n-1
,
e
n
) квадратичная форма f (
y
) имеет вид f (
y
) =
=
λ
ii
i
n
y
2
1
1
=
−
∑
+ 2 byy
in i n
i
n
=
−
∑
1
1
+ b
nn
y
n
2
, так как при y
n
= 0 она совпадает с квадра-
тичной формой
f
n-1
. Преобразуем последнее выражение для f ( y ), выделяя
квадраты по переменным
у
1
,..., y
n-1
:
⎯ 69 ⎯ вой минор максимального, n-го, порядка представляет собой определитель матрицы. Теорема 4. 4. о необходимом и достаточном условии положительной определенности квадратичной формы (Критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма от n переменных была положи- тельно определена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись нера- венства ∆ 1 > 0 , ∆ 2 > 0 , ... , ∆n > 0 . Необходимость. Если квадратичная форма положительно определе- на, то в ее каноническом виде все коэффициенты должны быть положи- тельны. Значит, и определитель матрицы A квадратичной формы канони- ческого вида положителен. Невырожденное преобразование квадратичной формы не меняет знака определителя матрицы А, так как согласно фор- муле преобразования А′ = U ТАU определитель этой матрицы det (А′) = = det (UТАU ) = (det U)2 det А. Поэтому определитель матрицы А′ исходной канонической формы тоже положителен: ∆n > 0 . Если квадратичная форма f (у1,..., уn) от n переменных положительно определена, то квадратичная форма f k ( у1,..., уk ) = f k ( у1,..., уk, 0,...., 0) от k переменных также положительно определена, и, следовательно, определи- тель ее матрицы положителен. Но этот определитель совпадает с ∆k, т. е. ∆k > 0 при k = 1,..., n. Достаточность. Используем метод математической индукции по количеству n переменных квадратичной формы. При n = 1 утверждение верно, поскольку из условия ∆ 1 = а11 > 0 следует, что f (у1) = а11 у12 > 0. Пусть утверждение верно для всех квадратичных форм от k переменных, k ≤ n − 1. Рассмотрим произвольную квадратичную форму f ( y ) с матри- цей А = (аij) в базисе e = ( e 1,.., e n), у которой все угловые миноры поло- жительны. Квадратичная форма fn1 (у1,..., уn1) = f (у1,..., уn-1, 0) от n −1 пе- ременных определена на линейном подпространстве Нn-1 = L ( e 1,..., e n-1) и имеет матрицу, совпадающую с матрицей минора ∆n-1. Так как все угловые миноры для ∆n-1, они же угловые миноры матрицы А, положительны, со- гласно предположению математической индукции квадратичная форма fn-1 является положительно определенной. Заменой базиса e 1,..., e n-1 подпро- странства Н n-1 новым базисом b 1,..., b n-1 мы можем привести квадратич- ную форму fn-1 к диагональному виду: fn-1(у1,..., уn-1) = λ1у12 + ... + λn1уn-1, λi > 0 , i = 1,..., n − 1. В базисе ( b 1,..., b n-1 , e n) квадратичная форма f ( y ) имеет вид f ( y ) = n −1 n −1 ∑ λi yi + 2 ∑ bin y i y n + bnnyn2, так как при yn = 0 она совпадает с квадра- 2 = i =1 i =1 тичной формой fn-1. Преобразуем последнее выражение для f ( y ), выделяя квадраты по переменным у1,..., yn-1:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- …
- следующая ›
- последняя »