Линейная алгебра. Курзина В.М. - 70 стр.

                                        ⎯ 69 ⎯

вой минор максимального, n-го, порядка представляет собой определитель
матрицы.
       Теорема 4. 4. о необходимом и достаточном условии положительной
определенности квадратичной формы (Критерий Сильвестра).
       Для того чтобы квадратичная форма от n переменных была положи-
тельно определена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись нера-
венства ∆ 1 > 0 , ∆ 2 > 0 , ... , ∆n > 0 .
       Необходимость. Если квадратичная форма положительно определе-
на, то в ее каноническом виде все коэффициенты должны быть положи-
тельны. Значит, и определитель матрицы A квадратичной формы канони-
ческого вида положителен. Невырожденное преобразование квадратичной
формы не меняет знака определителя матрицы А, так как согласно фор-
муле преобразования А′ = U ТАU определитель этой матрицы det (А′) =
= det (UТАU ) = (det U)2 det А. Поэтому определитель матрицы А′ исходной
канонической формы тоже положителен: ∆n > 0 .
       Если квадратичная форма f (у1,..., уn) от n переменных положительно
определена, то квадратичная форма f k ( у1,..., уk ) = f k ( у1,..., уk, 0,...., 0) от k
переменных также положительно определена, и, следовательно, определи-
тель ее матрицы положителен. Но этот определитель совпадает с ∆k, т. е.
∆k > 0 при k = 1,..., n.
       Достаточность. Используем метод математической индукции по
количеству n переменных квадратичной формы. При n = 1 утверждение
верно, поскольку из условия ∆ 1 = а11 > 0 следует, что f (у1) = а11 у12 > 0.
Пусть утверждение верно для всех квадратичных форм от k переменных,
k ≤ n − 1. Рассмотрим произвольную квадратичную форму f ( y ) с матри-
цей А = (аij) в базисе e = ( e 1,.., e n), у которой все угловые миноры поло-
жительны. Квадратичная форма fn1 (у1,..., уn1) = f (у1,..., уn-1, 0) от n −1 пе-
ременных определена на линейном подпространстве Нn-1 = L ( e 1,..., e n-1) и
имеет матрицу, совпадающую с матрицей минора ∆n-1. Так как все угловые
миноры для ∆n-1, они же угловые миноры матрицы А, положительны, со-
гласно предположению математической индукции квадратичная форма fn-1
является положительно определенной. Заменой базиса e 1,..., e n-1 подпро-
странства Н n-1 новым базисом b 1,..., b n-1 мы можем привести квадратич-
ную форму fn-1 к диагональному виду:
             fn-1(у1,..., уn-1) = λ1у12 + ... + λn1уn-1, λi > 0 , i = 1,..., n − 1.
       В базисе ( b 1,..., b n-1 , e n) квадратичная форма f ( y ) имеет вид f ( y ) =
    n −1             n −1
    ∑ λi yi       + 2 ∑ bin y i y n + bnnyn2, так как при yn = 0 она совпадает с квадра-
              2
=
    i =1             i =1
тичной формой fn-1. Преобразуем последнее выражение для f ( y ), выделяя
квадраты по переменным у1,..., yn-1: