Линейная алгебра. Курзина В.М. - 67 стр.

                                   ⎯ 66 ⎯

с характеристическим уравнением матрицы
                             5−λ        4
                                             = (5 − λ)2 − 16 = 0.
                                4      5−λ
 Собственными значениями матрицы квадратичной формы являются λ1 = 1,
λ2 = 9, т. е. квадратичная форма приводится к каноническому виду
                             f (у1, у2) = у12 + 9у22.
 Для построения ортогонального преобразования найдем собственные
векторы матрицы рассматриваемой квадратичной формы. Из однородной
системы алгебраических уравнений (А − λЕ)х = 0 при λ1 =1 находим соб-
ственный вектор e 1 = (1, −1)Т. Тогда вектор e 2 = (1, 1)Т, будет собствен-
ным вектором с соответствующим собственным значением λ2 = 9. Пронор-
мировав эти векторы, составляем из столбцов их координат матрицу ор-
тогонального преобразования
                                           1 ⎛ 1 1⎞
                                      Р=      ⎜⎜      ⎟⎟ ,
                                            2 ⎝ − 1 1⎠
которой соответствует линейная замена переменны х = Ру.
        Единообразное поведение самосопряженных операторов и квадра-
тичных форм объясняется следующей теоремой.
        Теорема 4. 3. Пусть А: Е → Е ⎯ самосопряженный оператор, дей-
ствующий в евклидовом пространстве Е. Функция f (x) = (A x , x ), опреде-
ленная на евклидовом пространстве, является квадратичной формой. На-
оборот, для любой квадратичной формы f (x) на евклидовом пространстве
Е существует такой самосопряженный оператор А, что f(x) = (A x , x ). Этот
оператор определен однозначно.
        Чтобы доказать первое утверждение теоремы, вспомним, как запи-
сывается скалярное произведение в ортонормированном базисе. Используя
эту запись и учитывая самосопряженность оператора, получаем (A x , x ) =
 = ( x , А x ) = хТАmх, где х ⎯ столбец координат вектора x ; Аm ⎯ матрица
линейного оператора А. Мы пришли к координатной записи хТАmх неко-
торой квадратичной формы.
        Пусть f (x) ⎯ квадратичная форма, которая в данном ортонормиро-
ванном базисе e имеет вид f (x) = хТАх. Взяв самосопряженный оператор А,
который в данном базисе e имеет матрицу Аm, получаем f (x) = хТАmх =
= хТ(Аm х) = ( x , А x ) = (A x , x ). Наконец, докажем, что если для двух само-
сопряженных операторов А и В выполняется равенство (A x , x ) = (В x , x )
для любого вектора x ∈ Е, то А = В. Записав указанное равенство в коор-
динатах (Аm, Вm ⎯ матрицы операторов; х ⎯ столбец координат вектора
x ), получаем , что хТАm х = хТВmх, т. е. равенство двух многочленов второй
степени от n переменных. Такое равенство возможно лишь в том случае,