ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
⎯
63
⎯
Если b
11
≠ 0, соберем все слагаемые формы, содержащие переменное
х
1
, и дополним их слагаемыми так, чтобы получился полный квадрат. В ре-
зультате получим
f (v) = b
11
v
1
2
+ 2
bvv
jj
j
n
11
2=
∑
+ bv
ii i
i
n
2
2=
∑
+ 2 bvv
ij i j
ijn2≤< ≤
∑
= b
11
(х
1
+
+
a
12
x
2
+ ... + a
1n
x
n
)
2
− b
11
av
jj
j
n
1
22
2=
∑
− b
11
aa vv
ijij
ijn
11
2≤< ≤
∑
+
+
bv
ii i
i
n
2
2=
∑
+ 2
bvv
ij i j
ijn2≤< ≤
∑
= b′
1
(
av
jj
j
n
1
1=
∑
)
2
+ f
1
(v
2
,.., v
n
),
где
b′
1
= b
11
; а
1j
= b
1j
/ b
11
; j = 1, ..., n, а f
1
(v
2
,..., v
n
) ⎯ квадратичная форма,
не содержащая переменного
v
1
.
С квадратичной формой
f
1
можно поступить аналогичным образом,
выделяя полный квадрат по переменной
v
2
. Продолжая процесс, преобра-
зуем нашу квадратичную форму
f (v) к виду
f (v) = b′
1
(
av
jj
j
n
1
1=
∑
)
2
+ b′
2
(
av
jj
j
n
2
2=
∑
)
2
+ ... + b′
r
(
av
rj j
jr
n
=
∑
)
2
,
где коэффициенты
b′
j
являются ненулевыми, а а
jj
= 1, j = 1,..., r. Выполним
линейную замену переменных
v
1
′ = а
11
v
1
+ ... + а
1n
v
n
, v
2
′ = а
22
v
1
+ ... +
+
а
2n
v
n
, ...,
v
r
′ = а
rr
v
1
+ ... + а
rn
v
n
, v
r+1
′ = v
r+1
,..., v
n
′ = v
n,
определяемую
верхней треугольной матрицей
А. Отметим, что диагональные элементы
матрицы
А равны единице, поэтому эта матрица невырождена. В результа-
те замены переменных мы придем к квадратичной форме
f (v′) = b′
1
(v
1
′)
2
+ ... + b′
r
( v
r
′)
2
,
имеющей канонический вид.
Изложенная схема не применима, если на каком-либо ее этапе в
квадратичной форме нет соответствующего переменного во второй степе-
ни. Например, может случиться, что
b
11
= 0. Тогда мы вместо переменного
v
1
можем остановить свой выбор на другом, квадрат которого присутствует
в квадратичной форме. Но может быть так, что в квадратичной форме нет
ни одного квадрата (например, форма
f (v
1
, v
2
) = v
1
v
2
). Тогда перед выделе-
нием квадрата следует выполнить промежуточную замену переменных.
Для этого выбираем любое слагаемое квадратичной формы. Пусть для оп-
ределенности
b
12
≠ 0, так что присутствует слагаемое 2b
12
v
1
v
2
. После заме-
ны переменных
v
1
= v
1
′ + v
2
′, v
2
= v
1
′ − v
2
′, v
3
= v
3
′,..., v
n
= v
n
′ получим квад-
ратичную форму, у которой присутствует квадрат переменного
v
1
′, так как
v
1
v
2
= (v
1
′ + v
2
′)(v
1
′ − v
2
′) = (v
1
′)
2
− (v
2
′)
2
. Отметим, что канонический вид, к
которому приводится квадратичная форма, определяется неоднозначно.
Пример 4.8. Квадратичная форма f (v) = (v
1
)
2
− (v
2
)
2
в каноническом
виде заменой
w
1
= v
1
/3, w
2
= v
2
/3 приводится к квадратичной форме f ′(w) =
⎯ 63 ⎯
Если b11 ≠ 0, соберем все слагаемые формы, содержащие переменное
х1, и дополним их слагаемыми так, чтобы получился полный квадрат. В ре-
зультате получим
n n
f (v) = b11v1 + 2 ∑ b1 j v1v j + ∑ bii vi ∑
2 2
+2 bij v i v j = b11(х1 +
j =2 i =2 2≤i < j ≤ n
n
∑ a1 j ∑
2
+ a12x2 + ... + a1n xn) − b11 2
v j 2 − b11 a1i a1 j v i v j +
j =2 2≤i < j ≤ n
n n
∑ bii vi
2
+ +2 ∑ bij vi v j = b′1( ∑ a1 j v j )2 + f1 (v2,.., vn),
i =2 2≤i < j ≤ n j =1
где b′1 = b11 ; а1j = b1j / b11 ; j = 1, ..., n, а f1 (v2,..., vn) ⎯ квадратичная форма,
не содержащая переменного v1.
С квадратичной формой f1 можно поступить аналогичным образом,
выделяя полный квадрат по переменной v2. Продолжая процесс, преобра-
зуем нашу квадратичную форму f (v) к виду
n n n
f (v) = b′1( ∑ a1 j v j )2 + b′2( ∑ a2 j v j )2 + ... + b′r( ∑ arj v j )2,
j =1 j =2 j =r
где коэффициенты b′j являются ненулевыми, а аjj = 1, j = 1,..., r. Выполним
линейную замену переменных v1′ = а11v1 + ... + а1n vn , v2′ = а22v1 + ... +
+а2nvn, ..., vr′ = аrrv1 + ... + аrn vn, vr+1′ = v r+1,..., vn′ = vn, определяемую
верхней треугольной матрицей А. Отметим, что диагональные элементы
матрицы А равны единице, поэтому эта матрица невырождена. В результа-
те замены переменных мы придем к квадратичной форме
f (v′) = b′1 (v1′)2 + ... + b′r ( vr′)2,
имеющей канонический вид.
Изложенная схема не применима, если на каком-либо ее этапе в
квадратичной форме нет соответствующего переменного во второй степе-
ни. Например, может случиться, что b11 = 0. Тогда мы вместо переменного
v1 можем остановить свой выбор на другом, квадрат которого присутствует
в квадратичной форме. Но может быть так, что в квадратичной форме нет
ни одного квадрата (например, форма f (v 1, v2) = v1v2). Тогда перед выделе-
нием квадрата следует выполнить промежуточную замену переменных.
Для этого выбираем любое слагаемое квадратичной формы. Пусть для оп-
ределенности b12 ≠ 0, так что присутствует слагаемое 2b12v1v2. После заме-
ны переменных v1 = v1′ + v2′, v2 = v1′ − v2′, v3 = v3′,..., vn = vn′ получим квад-
ратичную форму, у которой присутствует квадрат переменного v1′, так как
v1v2 = (v1′ + v2′)(v1′ − v2′) = (v1′)2 − (v2′)2. Отметим, что канонический вид, к
которому приводится квадратичная форма, определяется неоднозначно.
Пример 4.8. Квадратичная форма f (v) = (v1)2 − (v2)2 в каноническом
виде заменой w1 = v1/3, w2 = v2 /3 приводится к квадратичной форме f ′(w) =
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- …
- следующая ›
- последняя »
