Линейная алгебра. Курзина В.М. - 57 стр.

                                           ⎯ 56 ⎯

нат (− а12 , а11, 0, ..., 0 )Т. И далее эти рассуждения можно продолжить и
получить для собственного значения а33 вектор х(3) со столбцом координат
(х13, х23, х33, 0, ...,0 )Т, у которого лишь первые три координаты отличны от
нуля. Эти три координаты удовлетворяют линейной однородной системе
из двух уравнений
                           ⎧ a11 x13 + a12 x 23 + a13 x 33 = 0;
                    ⎨
                    ⎩ a 22 x 23 + a 33 x 33 = 0.
И также можно получить остальные собственные векторы.


      3.4. Собственные векторы и собственные числа симметрического
      оператора

      Рассмотрим собственные векторы и собственные числа самосопря-
женного оператора, называемого также симметрическим, поскольку его
матрица в любом ортонормированном базисе, как это было доказано ранее,
является симметрической.
      Напомним, что комплексные числа a + bi и a − bi называются ком-
плексно сопряженными. Число, комплексно сопряженное к числу z, обо-
значают z . Рассмотрим матрицу М = (mij), элементами которой являются
комплексные (в частности, действительные) числа mij. Матрицу М = ( mij )
того же типа, что и матрица М, элементами которой являются числа mij ,
будем называть комплексно сопряженной к матрице М. Она состоит из
комплексно сопряженных элементов матрицы М. Из свойств комплексных
чисел вытекают следующие соотношения:
      M + N = M + N ; MN = M N ; M T = ( M )Т.
      Теорема 3.6. Все корни характеристического уравнения самосопря-
женного оператора действительны.
      Это утверждение можно переформулировать следующим образом:
характеристическое уравнение симметрической матрицы имеет только
действительные корни. В этой форме и будем его доказывать.
      Предположим, что некоторое число λ , вообще говоря, комплексное,
является корнем характеристического многочлена симметрической матри-
цы А, т. е. det (A − λE ) = 0. Тогда система линейных алгебраических урав-
нений (A − λE)х = 0 имеет некоторое ненулевое решение х = ( х1, ..., хn )Т,
состоящее из комплексно сопряженных чисел хk, k = 1,..., n. Рассмотрим
столбец x , комплексно сопряженный к столбцу х. Умножим равенство
(A − λE)х = 0 слева на строку x Т. Тогда
                x Т(A − λE )х = 0 , или x ТА х = λ x Т х.            (3.3)