Линейная алгебра. Курзина В.М. - 55 стр.

                                     ⎯ 54 ⎯

                   ⎛ 3 1 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞      ⎛0⎞           ⎧3 x1 + x 2 + 2 x 3 = 0;
                   ⎜        ⎟⎜ ⎟         ⎜ ⎟           ⎪
                   ⎜ 4 3  1 ⎟ ⎜ x2 ⎟ =   ⎜ 0 ⎟ , или   ⎨4 x1 + 3 x 2 + x 3 = 0;
                   ⎜ 3 −1 4⎟ ⎜ x ⎟       ⎜0⎟           ⎪3 x − x + 4 x = 0.
                   ⎝        ⎠⎝ 3⎠        ⎝ ⎠           ⎩ 1       2       3



Ранг матрицы этой системы равен 2:
                                  ⎛ 3 1 2⎞
                                  ⎜             ⎟
                              Rg ⎜ 4 3 1 ⎟ = 2.
                                  ⎜ 3 −1 4⎟
                                  ⎝             ⎠
Поэтому размерность пространства решений системы равна 3 − 2 = 1.
Фундаментальная система решений содержит одно решение, например,
                                       ⎛1⎞
                                       ⎜ ⎟
                                х(1) = ⎜ − 1⎟ .
                                       ⎜ − 1⎟
                                       ⎝ ⎠
Все множество собственных векторов линейного оператора с собствен-
ным значением λ1 = −3 в координатной форме имеет вид
                                           ⎛1⎞
                                           ⎜ ⎟
                               αх(1) = α ⎜ − 1⎟ ,
                                           ⎜ − 1⎟
                                           ⎝ ⎠
где α ⎯ произвольное ненулевое действительное число.
      При λ = λ2 = 1 система имеет вид
               ⎛ − 1 1 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞           ⎧− x1 + x 2 + 2 x 3 = 0;
               ⎜           ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟               ⎪
               ⎜ 4 − 1 1 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ , или ⎨ 4 x1 − x 2 + x 3 = 0;
               ⎜ 3 − 1 0 ⎟ ⎜⎝ x ⎟⎠ ⎜ 0 ⎟          ⎪ 3 x − x = 0.
               ⎝           ⎠ 3       ⎝ ⎠          ⎩      1     2

Ранг матрицы этой системы равен 2. Поэтому размерность пространства
решений системы равна 3 − 2 = 1. Фундаментальная система решений со-
держит одно решение. Выберем следующее:
                                        ⎛ 1⎞
                                        ⎜ ⎟
                                 х(2) = ⎜ 3 ⎟ .
                                        ⎜ ⎟
                                        ⎝ − 1⎠
Все множество собственных векторов с собственным значением λ2 = 1 в
координатной форме имеет вид
                                      ⎛1⎞
                                      ⎜ ⎟
                             βх(2) =β ⎜ 3 ⎟ ,
                                      ⎜ −1⎟
                                      ⎝ ⎠
где β ⎯ произвольное ненулевое действительное число.