Линейная алгебра. Курзина В.М. - 53 стр.

                                       ⎯ 52 ⎯

Ранг матрицы системы равен 2, поэтому фундаментальная система состоит
из одного столбца. Например, можно взять столбец чисел (3, 5, 6)Т. Для
собственного значения λ2 = 1 получаем систему
                       ⎛ 6 − 12 6 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
                       ⎜              ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
                       ⎜10 − 20 10 ⎟ ⎜ x 2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ .
                       ⎜12 − 24 12 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0 ⎟
                       ⎝              ⎠⎝ 3⎠ ⎝ ⎠
Ранг матрицы равен 1, поэтому фундаментальная система состоит из двух
столбцов. Например, фундаментальную систему решений составляют
столбцы (2, 1, 0 )Т и (0, 1, 2 )Т. Таким образом, базисом из собственных
векторов матрицы А является система векторов

                        ⎛ 3⎞        ⎛ 2⎞        ⎛ 0⎞
                        ⎜ ⎟         ⎜ ⎟         ⎜ ⎟
                  e 1 = ⎜5⎟ , e 2 = ⎜1⎟ , e 3 = ⎜1⎟ ,
                        ⎜6⎟         ⎜ 0⎟        ⎜ 2⎟
                        ⎝ ⎠         ⎝ ⎠         ⎝ ⎠
а сама матрица А подобна диагональной матрице
                                      ⎛ −1 0 0⎞
                                      ⎜           ⎟
                                      ⎜ 0 1 0⎟ ,
                                      ⎜ 0 0 1⎟
                                      ⎝           ⎠
причем в этом случае

    ⎛ 3 2 0⎞
    ⎜       ⎟
Р = ⎜ 5 1 1 ⎟ матрица преобразования подобия представляет собой мат-
    ⎜ 6 0 2⎟
    ⎝       ⎠
рицу перехода из одного базиса в другой, т. е. ее столбцы представляют
собой столбцы координат векторов нового базиса, записанные в старом.


   3.3. Алгоритм вычисления собственных векторов линейного оператора

      Характеристическое уравнение линейного оператора А:V → V, дей-
ствующего в n-мерном линейном пространстве V, ⎯ это алгебраическое
уравнение n-й степени с действительными коэффициентами. Среди его
корней могут быть комплексные числа, но эти корни не во всяком линей-
ном пространстве относят к собственным значениям линейного оператора,
так как согласно определению собственное значение линейного оператора
⎯ действительное число. Чтобы комплексные корни характеристического
уравнения можно было рассматривать как собственные значения линейно-
го оператора, в линейном пространстве должно быть определено умноже-
ние вектора на любые комплексные числа.