Линейная алгебра. Курзина В.М. - 47 стр.

                                 ⎯ 46 ⎯

и приравняв его нулю, получим характеристическое уравнение этого ли-
нейного оператора: λ3 = 0. Такое же характеристическое уравнение матри-
ца Аm будет иметь и в любом другом базисе. Спектр линейного оператора в
линейном пространстве над полем действительных чисел состоит из един-
ственного действительного собственного значения этого оператора λ = 0.
      Спектр линейного оператора тесно связан с его характеристическим
уравнением.
      Теорема 3. 1. Для того чтобы число λ являлось собственным значе-
нием линейного оператора, необходимо и достаточно, чтобы оно было
корнем характеристического уравнения этого оператора.
      Необходимость. Пусть число λ является собственным значением ли-
нейного оператора А: V → V. Это значит, что существует вектор v ≠ 0 , для
которого
                                 A (v ) = λv .                        (3.1)
Отметим, что в V действует тождественный оператор I: I v = v для любо-
го вектора v . Используя этот оператор, преобразуем равенство (3.1) к виду
                              A ( v ) = λ I v , или
                             (A − λ I)( v ) = 0 .                     (3.2)
      Запишем векторное равенство (3.2) в каком-либо базисе e . Матри-
цей линейного оператора A − λI будет матрица Аm − λ Е , где Аm ⎯ матри-
ца линейного оператора А в базисе e ; Е ⎯ единичная матрица; v ⎯
столбец координат собственного вектора v . Тогда v ≠ 0, а векторное ра-
венство (3.2) равносильно матричному (Аm − λЕ) v = 0, которое представ-
ляет собой матричную форму записи однородной системы алгебраических
уравнений с квадратной матрицей Аm − λЕ порядка n. Эта система имеет
ненулевое решение, являющееся столбцом координат v собственного век-
тора v . Поэтому матрица Аm − λЕ системы алгебраических уравнений
имеет нулевой определитель, т. е. det (Аm − λE ) = 0. А это означает, что λ
является корнем характеристического уравнения линейного оператора А.
      Достаточность. Легко убедиться, что приведенные рассуждения
можно провести в обратном порядке. Если λ является корнем характери-
стического уравнения матрицы Аm, то в заданном базисе e выполняется
равенство ∆ = det (Аm − λE) = 0. Следовательно, матрица однородной сис-
темы алгебраических уравнений, записанной в матричной форме, вырож-
дена, и система имеет ненулевое решение v . Это ненулевое решение
представляет собой набор координат в базисе e некоторого ненулевого
вектора v , для которого выполняется векторное равенство (A − λ I)( v ) = 0
или эквивалентное ему равенство A( v ) = λI v . Мы приходим к выводу, что
число λ является собственным значением линейного оператора A.