Линейная алгебра. Курзина В.М. - 45 стр.

                                ⎯ 44 ⎯

в фиксированном базисе, действующем в n-мерном линейном пространст-
ве. Например, если остановиться на стандартном базисе в линейном ариф-
метическом пространстве Rn, то матрица Аm определяет линейный оператор
А, отображающий вектор v ∈ Rn со столбцом координат v в вектор со
столбцом координат А(v). Матрицей оператора А как раз и является матри-
ца Аm.


           3.2. Характеристический многочлен и его корни

     Для произвольной квадратной матрицы А = (аij) порядка n рассмот-
рим определитель
                  a11 − λ   a12   ...  a1n
                        a 21   a 22 − λ ...    a 2n
     det ( A − λE ) =                                ,
                         ...       ...  ...     ...
                        a n1      a n2  ... a nn − λ
где Е ⎯ единичная матрица, а λ ⎯ действительное переменное. Относи-
тельно переменного λ этот определитель является многочленом степени n
                                                          n
и может быть записан в виде РА (λ) = det (A−λE) =        ∑ ( −1) k d k λk , где   ко-
                                                         k =0
эффициенты (−1)k введены для удобства.
       Многочлен n-й степени от λ, равный РА (λ) = det (A − λE), называ-
ется характеристическим многочленом матрицы А, а уравнение РА (λ) =
det (A − λE) = 0 ⎯ характеристическим уравнением матрицы А. Мно-
жество значений λ, для которых РА (λ) = 0, называется корнями характе-
ристического уравнения матрицы А.
      Пример 3. 2. Найдем характеристическое уравнение матрицы
                                 ⎛7 2 0⎞
                                 ⎜        ⎟
                             А = ⎜ 0 1 3⎟ .
                                 ⎜ 0 3 4⎟
                                 ⎝        ⎠
 Раскроем определитель, соответствующий матрице А:
         7−λ     2     0
РА (λ) = 0      1− λ   3 = (7 − λ )((1 − λ)(4 − λ) −9)= −λ3+12λ2 −30λ −35.
           0     3    4−λ
Итак, характеристическое уравнение заданной матрицы имеет вид
                       −λ 3 + 12λ2 − 30λ − 35 = 0.
      Квадратную матрицу можно использовать в качестве значения пере-
менного в произвольном многочлене. Тогда значением многочлена от мат-