Линейная алгебра. Курзина В.М. - 43 стр.

                                  ⎯ 42 ⎯

      Пусть матрица Аm линейного оператора А в ортонормированном ба-
зисе является ортогональной. Тогда выполнено соотношение А Tm Аm = Е и,
следовательно, равенство uТ(А Tm Аm)v = uТЕ v = uTv верно для любых столб-
цов u и v. Но это равенство представляет собой матричную запись равенст-
ва скалярных произведений (А( u ), А( v )) = ( u , v ) для векторов u , v ∈Е,
имеющих в этом ортонормированном базисе столбцы координат u, v. Мы
приходим к заключению, что оператор А ортогональный. Докажем обрат-
ное утверждение. В ортогональном базисе пространства соотношение
(А( u ), А( v )) = ( u , v ) в координатах имеет вид (Аm u )Т(Аmv) = uТ v, т. е.
его можно записать в виде uТ(А Tm Аm) v = uТЕ v, а ранее доказали лемму, что
из этого равенства, выполняющегося для любых столбцов u и v, следует
равенство матриц А Tm Аm = Е, что и означает ортогональность матрицы Аm.
       Теорема 2.10. В евклидовом пространстве матрица перехода от одно-
го ортонормированного базиса к другому является ортогональной.
       Рассмотрим в произвольном n-мерном евклидовом пространстве Е
два ортонормированных базиса e = ( e 1,..., e n) и f = ( f 1, ... , f n). Пусть С
⎯ матрица перехода от f к e . Как следует из определения матрицы пе-
рехода, элементы матрицы С являются координатами векторов f j по ба-
зису e . Непосредственным умножением нетрудно убедиться , что СТС = Е,
поскольку элементами этой матрицы будут являться записанные в коорди-
натах скалярные произведения ( e i, e j ), которые в силу ортонормирован-
ности базиса e равны нулю при i≠ j и единице при i = j. Согласно опреде-
лению доказанное равенство означает, что матрица С ⎯ ортогональная.
       Теорема 2. 11. Пусть e ⎯ ортонормированный базис в n-мерном
евклидовом пространстве Е. Любая ортогональная матрица С порядка n
является матрицей перехода из базиса e в некоторый другой ортонорми-
рованный базис.
       Столбцы матрицы С можно рассматривать как координаты в базисе
 e некоторых векторов f 1, ... , f n пространства Е. Матрица С ТС есть не
что иное, как матрица Грама для системы векторов f 1, ..., f n , так как эле-
мент этой матрицы в i-й строке и j-м столбце равен fi Тfj , что представляет
собой запись в координатах в ортонормированном базисе скалярного про-
изведения ( f i, f j). Равенство С ТС = Е означает, что векторы f 1, ..., f n по-
парно ортогональны и имеют единичную длину. Поэтому указанная сис-
тема векторов является линейно независимой, а так как количество векто-
ров в системе совпадает с размерностью n евклидова пространства, то она
является базисом. Этот базис ортонормированный, а матрица С есть мат-
рица перехода из базиса e в базис f .