Линейная алгебра. Курзина В.М. - 38 стр.

                                      ⎯ 37 ⎯

получаем mij = nij . Так как пара индексов может быть выбрана совершенно
произвольно, то можно выбором перебрать все возможные номера элемен-
тов матриц, т. е. получаем, что все элементы матрицы М совпадают с со-
ответствующими по номеру элементами матрицы N, или M = N .
       Теорема 2. 5. Любому линейному оператору А: Е → Е соответствует
единственный сопряженный оператор А*, причем его матрицей в любом
ортонормированном базисе e является матрица А Tm , транспонированная
матрица линейного оператора А в том же базисе e .
       Доказательство теоремы основано на том, что фиксированный базис
евклидова пространства Е позволяет установить взаимно однозначное со-
ответствие между линейными операторами, действующими в пространстве
Е, и матрицами Мn (Rn), n = dim E. Это соответствие заключается в сопос-
тавлении линейному оператору его матрицы в фиксированном базисе.
       Докажем, что линейный оператор В с матрицей Вm = А Tm в базисе e
является сопряженным к линейному оператору А. Для этого достаточно
проверить выполнение равенства (В( u ), v ) = ( u , А( v )) для любой пары
u , v ∈ Е.
       Пусть u, v ⎯ столбцы координат векторов u , v в базисе e . Тогда
вектор A( v ) имеет столбец координат Am v, а правая часть равенства рав-
на uТ (Am v), что следует из ортонормированности базиса. Аналогично, ле-
вая часть этого равенства имеет вид (Bm u)T v. Следовательно, в координат-
ной форме рассматриваемое равенство запишется (Bm u)T v = uТ(Amv). Так
как (Bm u)T = uTB Tm в силу свойств матричных операций, то верно равенство
(Bm u)T = uT (А Tm )Т = uTАm, и получаем после подстановки в левую часть до-
казываемого равенства: uTАm v = uТ (Am v) ⎯ тождество.
      Если некоторый линейный оператор В является сопряженным к ли-
нейному оператору А, то для любых векторов u , v ∈ Е выполняется ра-
венство (В( u ), v ) = ( u , A( v )). Значит, для матриц Аm и Вm этих опера-
торов равенство (Bm u)T v = uТ (Am v) выполняется для любых столбцов u и v.
Согласно доказанной лемме Вm = А Tm . Поэтому линейный оператор опре-
делен однозначно, так как однозначно определена его матрица.
      В некоторых случаях линейный оператор, сопряженный к данному
линейному оператору, можно найти, не вычисляя матрицы этого операто-
ра.
      Пример 2. 10 . Вектор a ∈V3 в пространстве V3 порождает линей-
ный оператор А: V3 → V3 согласно формуле А ( x ) = [ a , x ]. Оператор, со-
пряженный к оператору А, можно определить, опираясь на свойства ска-
лярного, смешанного и векторного произведений: (А( x ), y ) = ([ a , x ], y ) =
= a x y = y a x = ([ y , a ], x ) = ( x , [ y , a ]) = ( x , − a , y ]) = ( x , − A y ).