Линейная алгебра. Курзина В.М. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

⎯
32
⎯
Пример 2.5. Правило преобразования n-мерного линейного арифме-
тического пространства
R
n
, заданное формулой А u = u + a, где a ≠ 0 ⎯
некоторый фиксированный вектор, не является линейным, так как, напри-
мер, для нулевого вектора
А 0 = a, что невозможно для линейного опера-
тора. Линейным оператором является не всякое отображение пространства.
2.2. Матрица линейного оператора
Пусть задан линейный оператор А: V→ V и некоторый базис e =
= (
e
1
, e
2
, ..., e
n
) линейного пространства V. Действие линейного оператора
полностью определено, если известны образы векторов базиса. Действи-
тельно, если некоторый вектор
u ∈ V имеет координаты u = (u
1
,..., u
n
)
Т
, то
справедливо равенство
А(
u ) = А(u
1
e
1
+ ...+ u
n
e
n
) = u
1
(А ( e
1
)) + ... + u
n
(А ( e
n
)),
т. е., зная векторы А(
e
j
), j = 1, ..., n, можно найти образ любого вектора
линейного пространства V.
Рассмотрим действие линейного оператора
А на векторы базиса e .
Обозначим столбцы координат векторов А
e
j
в базисе e через а
j
, a
j
=
= (a
1j
, ..., a
nj
)
T
, j = 1, ..., n. Тогда А (
e
j
) =
e
a
j
, j = 1, ..., n. Таким образом,
линейному оператору соответствует квадратная матрица А
m
= (а
ij
)
n,n
, эле-
менты которой определяются из соотношений А(
e
j
) = a
1j
e
1
+ ... + a
nj
e
n
,
j = 1, ..., n. Эта матрица называется
матрицей А
m
линейного оператора А
в базисе
e
1
, e
2
, ..., e
n
.
Порядок матрицы А
m
совпадает с размерностью линейного простран-
ства:
m = dim V.
Пример 2.6. Матрицей нулевого оператора
Θ: V→V, который каж-
дый вектор отображает в нулевой (
Θ(
x
) = 0), независимо от выбора базиса
является нулевая матрица соответствующего типа, так как образом любого
вектора в случае нулевого оператора является нулевой вектор. Поэтому
матрица нулевого оператора в любом базисе должна состоять из нулевых
столбцов, причем количество столбцов равно размерности пространства, в
котором рассматривается этот нулевой оператор.
Пример 2.7. Матрица тождественного оператора I
, который каждый
вектор переводит в себя (I(
x
) =
x
), также не зависит от выбора базиса и в
любом базисе является единичной. Действительно, взяв произвольный ба-
зис
e = ( e
1
, e
2
, ..., e
n
), получаем, что при j = 1, ..., n вектор I e
j
= e
j
=
= 0
⋅
e
1
+... + 1⋅
e
j
+ ... + 0⋅
e
n
, где 1 стоит на j-м месте. Матрица тождест-
венного оператора является единичной матрицей порядка, равного размер-
ности рассматриваемого пространства. 
                                       ⎯ 32 ⎯

      Пример 2.5. Правило преобразования n-мерного линейного арифме-
тического пространства Rn, заданное формулой А u = u + a , где a ≠ 0 ⎯
некоторый фиксированный вектор, не является линейным, так как, напри-
мер, для нулевого вектора А 0 = a, что невозможно для линейного опера-
тора. Линейным оператором является не всякое отображение пространства.


       2.2. Матрица линейного оператора

        Пусть задан линейный оператор А: V→ V и некоторый базис e =
= ( e 1, e 2, ..., e n) линейного пространства V. Действие линейного оператора
полностью определено, если известны образы векторов базиса. Действи-
тельно, если некоторый вектор u ∈ V имеет координаты u = (u1,..., un)Т, то
справедливо равенство
                   А( u ) = А(u1 e 1 + ...+ un e n) = u1 (А ( e 1)) + ... + un (А ( e n)),
т. е., зная векторы А( e j), j = 1, ..., n, можно найти образ любого вектора
линейного пространства V.
        Рассмотрим действие линейного оператора А на векторы базиса e .
Обозначим столбцы координат векторов А e j в базисе e через аj, aj =
= (a1j, ..., anj )T, j = 1, ..., n. Тогда А ( e j) = e aj, j = 1, ..., n. Таким образом,
линейному оператору соответствует квадратная матрица Аm = (аij)n,n, эле-
менты которой определяются из соотношений А( e j ) = a1j e 1 + ... + anj e n,
j = 1, ..., n. Эта матрица называется матрицей Аm линейного оператора А
в базисе e 1, e 2, ..., e n.
        Порядок матрицы Аm совпадает с размерностью линейного простран-
ства:
                                m = dim V.
        Пример 2.6. Матрицей нулевого оператора Θ: V→V, который каж-
дый вектор отображает в нулевой (Θ( x ) = 0 ), независимо от выбора базиса
является нулевая матрица соответствующего типа, так как образом любого
вектора в случае нулевого оператора является нулевой вектор. Поэтому
матрица нулевого оператора в любом базисе должна состоять из нулевых
столбцов, причем количество столбцов равно размерности пространства, в
котором рассматривается этот нулевой оператор.
        Пример 2.7. Матрица тождественного оператора I, который каждый
вектор переводит в себя (I( x ) = x ), также не зависит от выбора базиса и в
любом базисе является единичной. Действительно, взяв произвольный ба-
зис e = ( e 1, e 2, ..., e n), получаем, что при j = 1, ..., n вектор I e j = e j =
= 0⋅ e 1 +... + 1⋅ e j + ... + 0⋅ e n , где 1 стоит на j-м месте. Матрица тождест-
венного оператора является единичной матрицей порядка, равного размер-
ности рассматриваемого пространства.

Страницы