Линейная алгебра. Курзина В.М. - 26 стр.

                                      ⎯ 25 ⎯

        Матрицу G = (g ij ) n, n , элементы которой g ij = ( f i, f j ) (i = 1,..., n; j =
= 1,..., n ), где f 1, f 2, ..., f n ⎯ любые векторы пространства Е, называ-
ют матрицей Грама G = (g ij ) n,n.
        Пример 1.28. Пусть в пространстве R3 задан базис e = ( e 1, e 2 , e 3 ),
где e 1 = (1, 3, 6), e 2 = (2, 1, 1), e 3 = (4, 1, 3), тогда матрица Грама для это-
го базиса имеет вид
                          ⎛ (e 1 , e 1 ) (e 1 , e 2 ) (e 1 , e 3 ) ⎞ ⎛ 46 11 25 ⎞
                          ⎜                                        ⎟ ⎜          ⎟
        G = (g ij )3, 3 = ⎜ (e 2 , e 1 ) (e 2 , e 2 ) (e 2 , e 3 )⎟ = ⎜ 11 6 12 ⎟ .
                          ⎜ (e 3 , e 1 ) (e 3 , e 2 ) (e 3 , e 3 )⎟ ⎜ 25 12 26 ⎟
                          ⎝                                        ⎠ ⎝          ⎠
      Пусть e ⎯ ортонормированный базис, тогда скалярные произведе-
ния базисных векторов при несовпадающих i и j равны нулю, а скалярные
квадраты базисных векторов равны ( e i )2 = | e i |2 = 1. Поэтому для орто-
нормированного базиса в матрице Грама G все элементы главной диагона-
ли равны 1, а элементы, не лежащие на главной диагонали, равны 0, т. е.
матрица Грама является единичной. Значит, ( u , v )= uTG v = uTЕ v = uTv =
                                n
= u1v1 + u2v2 + ... + unvn =   ∑ u i vi . В ортонормированном базисе норма век-
                               i =1

тора u может быть вычислена по формуле | u | =               (u , u ) =   u12 + ... + u n2 =
= u T u , а для косинуса угла ϕ между ненулевыми векторами u и v полу-
чаем выражение
                                  u1v1 + u 2 v 2 + ... + u n v n
               соs ϕ =                                                .     (1.10)
                              2     2          2     2      2       2
                            u1 + u 2 + ... + u n v1 + v 2 + ... + v n
      В ортонормированном базисе также упрощается вычисление коор-
динат вектора: они выражаются через скалярные произведения вектора u
на соответствующие базисные векторы.Так, если задан некоторый век-
тор u = u1 e 1 + u2 e 2 + ...+ un e n, то, умножив его скалярно на вектор e i, на-
ходим его i-ю координату: ui = ( u , e i ), i = 1, ... , n.
      Пример 1. 29. В евклидовом арифметическом пространстве R5 най-
дем угол между двумя пятимерными векторами, заданными своими коор-
динатами: a 1 = (1, −2, 0, 2, 0 ) и a 2 = (3, 1, 2, 1, 1). Согласно найденной
формуле
                     1 ⋅ 3 + (−2) ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1       3    1
         соs ϕ =                                                 =      = .
                     1+ 4 + 0 + 4 + 0 9 +1+ 4 +1+1                 9 16  4
      По произвольному базису в евклидовом пространстве всегда можно
построить ортонормированный. Способ построения ортонормированного
базиса по произвольному называется процессом ортогонализации.