Линейная алгебра. Курзина В.М. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

⎯
23
⎯
равенство Коши
-Буняковского для абсолютной величины скалярного про-
изведения в следующем виде :
| (
u , v ) | ≤ |u| ⋅ |v | для любых u, v ∈V.
Систему векторов евклидова пространства, любые два вектора кото-
рой ортогональны , называют ортогональной.
Теорема 1.4. Любая ортогональная система ненулевых векторов ли-
нейно независима.
Рассмотрим произвольную ортогональную систему ненулевых век-
торов
e
1
,
e
2
, ...,
e
n
. Предположим, что для некоторых действительных ко-
эффициентов α
1
, α
2
,...,
α
n
выполняется равенство α
1
e
1
+ α
2
e
2
+...+
α
n
e
n
= 0.
Умножим это равенство скалярно на любой из базисных векторов, напри-
мер, на вектор
e
i
: (α
1
e
1
+ α
2
e
2
+ ... + α
n
e
n
,
e
i
) = ( 0,
e
i
). Поскольку ска-
лярное произведение нулевого вектора на любой другой вектор равно ну-
лю, правая часть этого равенства равна нулю. Преобразуя левую часть, по-
лучаем α
1
(
e
1
,
e
i
) + α
2
(
e
2
,
e
i
)
+ ... +
α
n
(
e
n
,
e
i
) = 0. Так как система векто-
ров ортогональна, все слагаемые слева, кроме одного, равны нулю, т. е.
α
i
(
e
i
,
e
i
) = 0. Вектор
e
i
ненулевой и его скалярный квадрат (
e
i
,
e
i
) ≠ 0,
значит, α
i
= 0. Поскольку индекс i можно выбирать произвольно, то все
коэффициенты α
i
являются нулевыми, а следовательно, система векторов
e
1
,
e
2
, ...,
e
n
является линейно независимой.
Пример 1.25. В евклидовом пространстве С
[0, π ]
система функций
cos kx, k = 1, ..., n, является ортогональной, поскольку
(
cos kx, cos lx) = cos coskx lxdx
0
π
∫
= 0,5 (cos( ) cos( ) )klx klxdx++ −
∫
0
π
=
= 0,5
cos( )klxdx+
∫
0
π
+ 0,5 cos( )klxdx−
∫
0
π
= (0,5
sin( )klx
k
l
+
+
+
+ 0,5
sin( )klx
k
l
−
−
)⏐
π
0
= 0 при k, i = 1,..., n, k ≠ l.
Евклидово пространство является линейным пространством и его
размерность также определяется числом векторов базиса. Если базис евк-
лидова пространства представляет собой ортогональную систему векторов,
то этот базис называют ортогональным. Среди ортогональных базисов в
евклидовом пространстве можно выделить базисы с единичной нормой
(длиной) базисных векторов.
Базис пространства
Е, для векторов которого выполнено свойство
(
e
i
, e
j
) =
⎩
⎨
⎧
=
≠
;,1
;,0
jiесли
jiесли
называется
ортонормированным базисом e
1
, e
2
, ..., e
n
. 
                                     ⎯ 23 ⎯

равенство Коши-Буняковского для абсолютной величины скалярного про-
изведения в следующем виде :
                          | ( u , v ) | ≤ | u| ⋅ | v | для любых u, v ∈V.
      Систему векторов евклидова пространства, любые два вектора кото-
рой ортогональны , называют ортогональной.
      Теорема 1.4. Любая ортогональная система ненулевых векторов ли-
нейно независима.
      Рассмотрим произвольную ортогональную систему ненулевых век-
торов e 1, e 2, ..., e n. Предположим, что для некоторых действительных ко-
эффициентов α1, α2 ,..., αn выполняется равенство α1 e 1 + α2 e 2 +...+ αn e n = 0 .
Умножим это равенство скалярно на любой из базисных векторов, напри-
мер, на вектор e i : (α1 e 1 + α2 e 2 + ... + αn e n , e i ) = ( 0, e i ). Поскольку ска-
лярное произведение нулевого вектора на любой другой вектор равно ну-
лю, правая часть этого равенства равна нулю. Преобразуя левую часть, по-
лучаем α1( e 1, e i ) + α2( e 2, e i) + ... + αn( e n , e i ) = 0. Так как система векто-
ров ортогональна, все слагаемые слева, кроме одного, равны нулю, т. е.
αi( e i, e i) = 0. Вектор e i ненулевой и его скалярный квадрат ( e i, e i) ≠ 0,
значит, αi = 0. Поскольку индекс i можно выбирать произвольно, то все
коэффициенты αi являются нулевыми, а следовательно, система векторов
e 1 , e 2, ..., e n является линейно независимой.
         Пример 1.25. В евклидовом пространстве С [0, π ] система функций
cos kx, k = 1, ..., n, является ортогональной, поскольку
                          π                       π
       (cos kx, cos lx) = ∫ cos kx cos lxdx = 0,5 ∫ (cos( k + l )x + cos( k − l )x )dx =
                          0                       0
               π                     π
                                                                sin( k + l )x
       = 0,5 ∫ cos( k + l )xdx + 0,5 ∫ cos( k − l )xdx = (0,5                 +
               0                     0                             k +l
           sin( k − l )x      π
       + 0,5             )⏐ = 0 при k, i = 1,..., n, k ≠ l.
              k −l          0
      Евклидово пространство является линейным пространством и его
размерность также определяется числом векторов базиса. Если базис евк-
лидова пространства представляет собой ортогональную систему векторов,
то этот базис называют ортогональным. Среди ортогональных базисов в
евклидовом пространстве можно выделить базисы с единичной нормой
(длиной) базисных векторов.
      Базис пространства Е, для векторов которого выполнено свойство
                                         ⎧0, если i ≠ j;
                           ( e i, e j) = ⎨
                                         ⎩ 1, если i = j;
называется ортонормированным базисом e 1 , e 2, ..., e n.

Страницы