Линейная алгебра. Курзина В.М. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

⎯
21
⎯
Пример 1.24. Линейное пространство С
[0, 1]
всех функций, непрерыв-
ных на отрезке [0, 1], тоже становится евклидовым, если в нем ввести ска-
лярное умножение (
f, g) = fxgxdx()()
0
1
∫
.
Убедимся, используя свойства определенного интеграла, что эта
операция
⎯
действительно скалярное умножение.
Закон 1: (
f, g) = fxgxdx()()
0
1
∫
= gx f xdx()()
0
1
∫
= (g , f ).
Закон 2: (
f
1
+ f
2
, g) = (() ())()fx fxgxdx
12
0
1
+
∫
= fxgxdx
1
0
1
()()
∫
+
+
fxgxdx
2
0
1
()()
∫
= (f
1
, g) + (f
2
, g).
Закон 3: (
αf, g) =
α
fxgxdx()()
0
1
∫
= α fxgxdx()()
0
1
∫
= α(f, g).
Закон 4: (f, f ) = fxfxdx() ()
0
1
∫
= fxdx
2
0
1
()
∫
≥ 0.
Из свойств непрерывных функций следует, что последнее неравенство
превращается в равенство только в случае, когда f(x) ≡ 0.
Теорема 1.3. Для любых векторов
u
,
v
евклидова пространства Е
справедливо
неравенство Коши-Буняковского
( u , v )
2
≤ ( u , u )⋅( v , v ). (1.9)
При
u
=
0
обе части неравенства равны нулю и неравенство выпол-
няется. Пусть
u ≠ 0. Для любого действительного числа α, в силу закона
4, выполняется неравенство (α
u −v , αu − v ) ≥ 0. Преобразуем левую часть
не-равенства, используя законы скалярного умножения: (α
u −v , α u −v ) =
= α(
u
, α
u
−
v
) − (
v
, α
u
−
v
) = α
2
(
u
,
u
) −2α(
u
,
v
) + (
v
,
v
) ≥ 0. Полученный
квадратный трехчлен относительно параметра α неотрицателен при всех
действительных значениях параметра. Следовательно, его дискриминант
равен нулю или отрицательный, т. е. выражение (
u , v )
2
− ( u , u )⋅( v , v ) ≤ 0,
что и требовалось доказать.
В евклидовом пространстве С
[0, 1]
неравенство Коши-Буняковского
превращается в неравенство Буняковского
( fxgxdx()()
0
1
∫
)
2
≤ fxdx
2
0
1
()
∫
gxdx
2
0
1
()
∫
.
Евклидово пространство ⎯ это частный случай линейного простран-
ства, поэтому оно также имеет свои подпространства, которые могут быть
линейными и относительно которых может быть применено данное выше 
                                            ⎯ 21 ⎯

     Пример 1.24. Линейное пространство С[0, 1] всех функций, непрерыв-
ных на отрезке [0, 1], тоже становится евклидовым, если в нем ввести ска-
                                       1
лярное умножение (f, g) =              ∫ f ( x )g( x )dx .
                                       0
     Убедимся, используя свойства определенного интеграла,                                                     что эта
операция ⎯ действительно скалярное умножение.
                           1                              1
       Закон 1: (f, g) =   ∫ f ( x )g( x )dx         = ∫ g( x ) f ( x )dx = (g , f ).
                           0                              0
                                   1                                                     1
       Закон 2: (f1 + f2, g) = ∫ ( f1( x ) + f 2 ( x ))g( x )dx =                        ∫ f1( x )g( x )dx     +
                                   0                                                     0
                     1
                   + ∫ f 2 ( x )g( x )dx = (f 1, g) + (f2, g).
                     0
                               1                                      1
       Закон 3: (αf, g) = ∫ αf ( x ) g ( x )dx = α ∫ f ( x ) g ( x )dx = α(f, g).
                               0                                      0
                               1                              1
                                                                      2
       Закон 4: (f, f ) =      ∫ f ( x ) f ( x )dx    =       ∫f          ( x )dx ≥ 0.
                               0                              0
Из свойств непрерывных функций следует, что последнее неравенство
превращается в равенство только в случае, когда f(x) ≡ 0.
       Теорема 1.3. Для любых векторов u , v евклидова пространства Е
справедливо неравенство Коши-Буняковского
                  ( u , v )2 ≤ ( u , u )⋅( v , v ).                                    (1.9)
       При u = 0 обе части неравенства равны нулю и неравенство выпол-
няется. Пусть u ≠ 0. Для любого действительного числа α, в силу закона
4, выполняется неравенство (α u − v , α u − v ) ≥ 0. Преобразуем левую часть
не-равенства, используя законы скалярного умножения: (α u − v , α u − v ) =
= α( u , α u − v ) − ( v , α u − v ) = α2( u , u ) −2α( u , v ) + ( v , v ) ≥ 0. Полученный
квадратный трехчлен относительно параметра α неотрицателен при всех
действительных значениях параметра. Следовательно, его дискриминант
равен нулю или отрицательный, т. е. выражение ( u , v )2 − ( u , u )⋅( v , v ) ≤ 0,
что и требовалось доказать.
       В евклидовом пространстве С[0, 1] неравенство Коши-Буняковского
превращается в неравенство Буняковского
                                       1                                    1                1
                                                                                 2
                                   ( ∫ f ( x ) g ( x )dx ) ≤      2
                                                                            ∫f       ( x )dx ∫ g 2 ( x )dx .
                                       0                                    0                0
      Евклидово пространство ⎯ это частный случай линейного простран-
ства, поэтому оно также имеет свои подпространства, которые могут быть
линейными и относительно которых может быть применено данное выше

Страницы