Линейная алгебра. Курзина В.М. - 23 стр.

                                     ⎯ 22 ⎯

определение скалярного произведения в пространстве.Таким образом, ка-
ждое из его линейных подпространств является евклидовым пространст-
вом относительно скалярного произведения, заданного в объемлющем
евклидовом пространстве.

       1.6. Ортонормированный базис

       Два вектора u , v в евклидовом пространстве называют ортогональ-
ными, если их скалярное произведение равно нулю:
                                    ( u , v ) = 0.
Ортогональность векторов u , v будем обозначать u ⊥ v . Отметим, что ну-
левой вектор ортогонален любому другому, так как для любого вектора u
скалярное произведение ( u , 0 ) = 0.
       Говорят, что вектор v в евклидовом пространстве Е ортогонален
подпространству Н, если он ортогонален каждому вектору этого подпро-
странства, обозначают v ⊥ Н. Если Н = L { u 1 , u 2, ..., u k}, то условие ор-
тогональности вектора v подпространству Н равносильно тому, что он ор-
тогонален и каждому вектору u 1, u 2, ..., u k .
       Действительно, если v ортогонален Н, то согласно определению он
ортогонален и каждому вектору u 1, u 2,..., u k . Докажем обратное утвер-
ждение. Пусть v ⊥ u i, i = 1, ..., k, и w ∈ Н. Тогда вектор w является линей-
ной комбинацией векторов u 1, u 2, ..., u k, т. е. w = α1 u 1 + α2 u 2 + ...+ αk u k.
Согласно закону 2 для скалярного произведения ( v , w ) = ( v , α1 u 1+ α2 u 2 +
+ ... + αk u k) = α1 ( v , u 1) + α2( v , u 2) + ... + αk( v , u k) = 0. В частности, если
векторы u и v ортогональны, то для любого α ∈R векторы u и α v так-
же ортогональны: ( u , α v ) = α ( u , v ) = 0 .
       В линейном пространстве обобщением понятия длины свободного
вектора является норма. Длину вектора в линейном пространстве V2 или
V3 можно рассматривать как функцию, которая каждому вектору ставит в
соответствие число ⎯ его длину. Эта функция обладает некоторыми ха-
рактерными свойствами, которые и служат основой для определения нор-
мы в линейном пространстве. Норму вектора в линейном пространстве
иногда называют длиной, имея в виду связь с аналогичным термином век-
торной алгебры.
       Функцию, заданную на линейном пространстве V, которая каждому
вектору v ∈V ставит в соответствие действительное число, равное квадрат-
ному корню из его скалярного произведения называют нормой, или дли-
ной, вектора v и обозначают | v |. Согласно определению | v | = (v, v) . Поль-
зуясь понятием нормы, запишем доказанное в предыдущем параграфе не-