Линейная алгебра. Курзина В.М. - 25 стр.

                                     ⎯ 24 ⎯

         Дополнительное требование к нормам векторов в ортонормирован-
ном базисе не является существенным, так как любой ортогональный ба-
зис можно преобразовать в ортонормированный, умножая векторы на со-
ответствующие нормирующие коэффициенты, а именно, разделив каждый
вектор на его длину.
         Пример 1.26. Пусть задана система из трех векторов a = (1, 0, −1),
b = (1, 0, 1), c = (0, 1, 0), которая в евклидовом арифметическом про-
странстве R3 образует ортогональный базис, так как ( a , b ) = 1 + 0 −1 = 0;
( a , c ) = 0 + 0 + 0 = 0; ( b , c ) = 0 + 0 + 0 = 0. Этот базис не является норми-
рованным, потому что норма ⏐ a ⏐=               12 + 02 + (−1) 2 = 2 ≠1. Разделив век-
торы a и b на их нормы, т. е. на число 2 , этот базис можно сделать ор-
тонормированным: a 1 =(1, 0, −1)/ 2 , b 1 = (1, 0, 1) )/ 2 , c 1 = (0 , 1, 0).
      Пример 1.27. Векторы i , j образуют ортонормированный базис в
пространстве V2 свободных векторов на плоскости. Векторы i , j , k обра-
зуют ортонормированный базис в пространстве V3 .
      Использование ортонормированного базиса облегчает вычисление
скалярного произведения по координатам векторов.
      Пусть в евклидовом пространстве задан базис e = ( e 1, e 2, ..., e n).
Рассмотрим два произвольных вектора u и v в этом пространстве, пред-
ставленных в базисе e своими координатами: u = u1 e 1 + u2 e 2 + ... + un e n,
v = v1 e 1 + v2 e 2 + ... + vn e n . Скалярное произведение векторов u и v
может быть выражено через скалярные произведения векторов базиса:
                    n         n                n   n
                  ( ∑ u i e i, ∑ v j e j) =   ∑ ∑ u i v j ( e i,   e j).
                   i =1       j =1            i =1 j =1

        Запишем разложения векторов u и v по базису в матричной фор-
ме: u = e u, v = e v ,
                       ⎛ u1 ⎞               ⎛ v1 ⎞
                       ⎜    ⎟               ⎜      ⎟
где                u = ⎜ M ⎟,         v = ⎜ M ⎟,
                       ⎜u ⎟                 ⎜v ⎟
                       ⎝ n⎠                 ⎝ n⎠
а из скалярных произведений базисных векторов рассматриваемого базиса
e составим квадратную матрицу
                              ⎛ (e 1 , e 1 ) ... (e 1 , e n ) ⎞
                              ⎜                               ⎟
                         G = ⎜ ...             ...   ... ⎟
                              ⎜ (e n , e 1 ) ... (e n , e n )⎟
                              ⎝                               ⎠
порядка n. Тогда скалярное произведение заданных векторов можно за-
писать в матричной форме: ( u , v ) = uTG v. В силу коммутативности опе-
рации скалярного умножения матрица G является симметрической.