Линейная алгебра. Курзина В.М. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

⎯
20
⎯
Скалярное произведение двух векторов (
u , v )
⎯
скалярная функция
двух векторных аргументов, подчиняющаяся определенным законам:
1) (
u , v ) = ( v , u );
2) (
u
+
v
,
w
) = (
u
,
w
) + (
v
,
w
);
3) (α
u , v ) = ( u , α v ) = α ( u , v );
4) (
v , v ) ≥ 0 для всякого v ;
(
v , v ) = 0 тогда и только тогда, когда v = 0.
Линейное пространство, в котором введено скалярное произведение,
называют евклидовым пространством Е.
Скалярное произведение векто-
ра на себя
⎯
скалярный квадрат.
Пример 1. 21. В линейном пространстве V
3
было введено скалярное
умножение согласно правилу (
u
,
v
) = ⏐
u
⏐⋅⏐
v
⏐cos ϕ, где ϕ
⎯
угол меж-
ду векторами
u и v , а⏐u ⏐,⏐v ⏐
⎯
их длины. Это умножение удовлетво-
ряет приведенным аксиомам скалярного умножения [ 4 ].
Действительно, (
u , v) = ⏐u ⏐⋅⏐ v ⏐cos ϕ = ⏐v ⏐⋅⏐u ⏐ cos ϕ = ( v , u );
(
αu , v ) =⏐αu ⏐⋅⏐v ⏐cos ϕ = α⏐ u ⏐⋅⏐v ⏐cos ϕ = α( u , v ); иначе можем запи-
сать
α⏐u ⏐⋅⏐v ⏐cos ϕ =⏐ u ⏐⋅⏐αv ⏐cos ϕ = ( u , α v ).
Так как (
u
,
u
)=⏐
u
⏐⋅⏐
u
⏐≥ 0 и может быть равным 0 только для ну-
левого вектора, законы 1, 3, 4 для скалярного произведения выполнены.
Для проверки закона 2 воспользуемся координатной формой записи ска-
лярного произведения, поскольку известно, что (
u , v ) = u
1
v
1
+ u
2
v
2
+ u
3
v
3
,
закон 2 запишется в виде: (
u + v , w ) = ((u
1
+ v
1
)w
1
+ (u
2
+ v
2
)w
2
+ (u
3
+ v
3
)w
3
) =
= (
u
1
w
1
+ v
1
w
1
) + (u
2
w
2
+ v
2
w
2
) + (u
3
w
3
+ v
3
w
3
) = (u
1
w
1
+ u
2
w
2
+ u
3
w
3
) + (v
1
w
1
+
+ v
2
w
2
+ v
3
w
3
) = ( u , w ) + ( v , w ). Следовательно, линейное пространство V
3
является евклидовым пространством.
Пример 1.22. В линейном арифметическом пространстве R
n
формула
(
u , v ) = х
1
у
1
+ ... + х
n
у
n
вводит скалярное умножение, поскольку выполня-
ются аксиомы скалярного умножения. В этом можно убедиться аналогично
предыдущему примеру, значит
R
n
становится евклидовым арифметическим
пространством.
Пример 1.23. В произвольном n-мерном линейном пространстве V
всегда можно ввести скалярное произведение, причем различными спосо-
бами. Выберем в этом пространстве некоторый базис
e
1
,
e
2
, ...,
e
n.
Для
произвольных векторов
u = u
1
e
1
+ u
2
e
2
+ ...+ u
n
e
n
, v = v
1
e
1
+ v
2
e
2
+ ...+ v
n
e
n
введем скалярное произведение по формуле (u , v ) = u
1
v
1
+ u
2
v
2
+ ...+ u
n
v
n
.
Нетрудно убедиться, что законы скалярного умножения выполняются, т. е.
n-мерное линейное пространство становится евклидовым. Отметим, что
разным базисам будут соответствовать, вообще говоря, разные операции
скалярного умножения. 
                                     ⎯ 20 ⎯

Скалярное произведение двух векторов ( u , v ) ⎯ скалярная функция
двух векторных аргументов, подчиняющаяся определенным законам:
1) ( u , v ) = ( v , u );
2) ( u + v , w ) = ( u , w ) + ( v , w );
3) (α u , v ) = ( u , α v ) = α ( u , v );
4) ( v , v ) ≥ 0 для всякого v ;
     ( v , v ) = 0 тогда и только тогда, когда v = 0 .
          Линейное пространство, в котором введено скалярное произведение,
называют евклидовым пространством Е. Скалярное произведение векто-
ра на себя ⎯ скалярный квадрат.
          Пример 1. 21. В линейном пространстве V3 было введено скалярное
умножение согласно правилу ( u , v ) = ⏐ u ⏐⋅⏐ v ⏐cos ϕ, где ϕ ⎯ угол меж-
ду векторами u и v , а⏐ u ⏐,⏐ v ⏐ ⎯ их длины. Это умножение удовлетво-
ряет приведенным аксиомам скалярного умножения [ 4 ].
          Действительно, ( u , v ) = ⏐ u ⏐⋅⏐ v ⏐cos ϕ = ⏐ v ⏐⋅⏐ u ⏐ cos ϕ = ( v , u );
(α u , v ) =⏐α u ⏐⋅⏐ v ⏐cos ϕ = α⏐ u ⏐⋅⏐ v ⏐cos ϕ = α( u , v ); иначе можем запи-
сать α⏐ u ⏐⋅⏐ v ⏐cos ϕ =⏐ u ⏐⋅⏐α v ⏐cos ϕ = ( u , α v ).
          Так как ( u , u )=⏐ u ⏐⋅⏐ u ⏐≥ 0 и может быть равным 0 только для ну-
левого вектора, законы 1, 3, 4 для скалярного произведения выполнены.
Для проверки закона 2 воспользуемся координатной формой записи ска-
лярного произведения, поскольку известно, что ( u , v ) = u1v1 + u2v2 + u3v3,
закон 2 запишется в виде: ( u + v , w ) = ((u1 + v1)w1 + (u2 + v2)w2 + (u3 + v3)w3) =
= (u1w1 + v1w1) + (u2w2 + v2w2) + (u3w3 + v3w3) = (u1w1 + u2w2 + u3w3) + (v1w1 +
+ v2w2 + v3w3 ) = ( u , w ) + ( v , w ). Следовательно, линейное пространство V3
является евклидовым пространством.
          Пример 1.22. В линейном арифметическом пространстве Rn формула
( u , v ) = х1у1 + ... + хnуn вводит скалярное умножение, поскольку выполня-
ются аксиомы скалярного умножения. В этом можно убедиться аналогично
предыдущему примеру, значит Rn становится евклидовым арифметическим
пространством.
          Пример 1.23. В произвольном n-мерном линейном пространстве V
всегда можно ввести скалярное произведение, причем различными спосо-
бами. Выберем в этом пространстве некоторый базис e 1, e 2, ..., e n. Для
произвольных векторов u = u1 e 1+ u2 e 2 + ...+ un e n, v = v1 e 1 + v2 e 2 + ...+ vn e n
введем скалярное произведение по формуле ( u , v ) = u1v1 + u2 v2 + ...+ unvn.
Нетрудно убедиться, что законы скалярного умножения выполняются, т. е.
n-мерное линейное пространство становится евклидовым. Отметим, что
разным базисам будут соответствовать, вообще говоря, разные операции
скалярного умножения.

Страницы