Линейная алгебра. Курзина В.М. - 19 стр.

                                    ⎯ 18 ⎯

                                   ⎧ e1 = b1 + b2 ;
                                   ⎪
                                   ⎨e 2 = b2 − b3 ;
                                   ⎪e = b − b .
                                   ⎩ 3       1  3

тогда матрица перехода от старого базиса b к новому e
                                             ⎛1 0 1 ⎞
                                             ⎜          ⎟
                                 U b → e = ⎜ 1 1 − 1⎟
                                             ⎜0 −1 0 ⎟
                                             ⎝          ⎠
и определитель ее равен −2, т. е. обратная матрица существует, и она равна
                                        ⎛ 0,5 0,5    0,5 ⎞
                                  -1    ⎜                 ⎟
                                U =⎜ 0           0    −1 ⎟ .
                                        ⎜ 0,5 − 0,5 − 0,5 ⎟
                                        ⎝                 ⎠
      Следовательно, системой линейных уравнений
                                ⎧ b1 = 0,5e1 + 0,5e3 ;
                                ⎪
                                ⎨ b2 = 0,5e1 − 0,5e3 ;
                                ⎪b = 0,5e − e − 0,5e .
                                ⎩ 3         1   2      3

задаются соотношения, связывающие векторы нового базиса с векторами
старого базиса.
                          ⎛ 1 −2 1 ⎞
                          ⎜                 ⎟
      Пусть U e → f = ⎜ − 2 − 2 − 1 ⎟ ⎯ матрица перехода от базиса e
                          ⎜ 2 −1 − 2⎟
                          ⎝                 ⎠
к базису f , тогда
                            ⎛ 1 0 1 ⎞ ⎛ 1 − 2 1 ⎞ ⎛ 3 − 3 − 1⎞
                            ⎜              ⎟⎜             ⎟ ⎜          ⎟
U b → f = U b → e U e → f = ⎜ 1 1 − 1⎟ ⎜ − 2 − 2 − 1 ⎟ = ⎜ − 3 − 3 2 ⎟ ⎯
                            ⎜ 0 −1 0 ⎟ ⎜ 2 −1 − 2⎟ ⎜ 2          2   1 ⎟⎠
                            ⎝              ⎠⎝             ⎠ ⎝
матрица перехода от базиса b к базису f .
       Рассмотрим теперь, как преобразуются координаты произвольного
вектора в линейном пространстве при переходе от старого базиса к ново-
му. Выберем произвольный вектор u ∈V и разложим его по старому базису
e : u = u1 e 1 + u2 e 2 + ...+ un e n, или u = e u, u ⎯ вектор-столбец координат
u . Аналогично, разложение этого вектора по новому базису f :
                       u = u1′ f 1 + u ′2 f 2 + ... + u n′ f n, u = f u′,
где u′ ⎯ вектор-столбец координат вектора u в базисе f .
        Найдем связь между старыми координатами u вектора u и новыми
его координатами u′. Из предыдущих соотношений следует, что e u = f u′.