Линейная алгебра. Курзина В.М. - 17 стр.

                                       - 16 -

зисом и в V, то dim W = dim V и подпространство W совпадает с простран-
ством V. Если базис в W не является базисом объемлющего линейного
пространства V, то существует такой вектор u ∈ V, который не является
линейной комбинацией векторов этого базиса. В этом случае, конечно, ли-
нейное подпространство W не может совпадать с пространством V. Доба-
вив вектор u к векторам базиса, получим линейно независимую систему
векторов.
      Это значит, что в пространстве V найдено линейно независимых
векторов больше размерности линейного пространства W: dim W < dim V.
      В линейном пространстве все базисы равноправны. Тот или иной ба-
зис выбирают исходя из конкретных обстоятельств, а может быть, и вооб-
ще произвольно. Иногда удобно использовать для представления элемен-
тов линейного пространства несколько базисов, но тогда возникает задача
о преобразовании координат векторов, которое связано с изменением бази-
са.
      Пусть в n-мерном линейном пространстве V заданы два базиса: ста-
рый e = ( e 1, ... , e n ) и новый f = ( f 1, ..., f n). Любой вектор можно раз-
ложить по базису e . В частности, каждый вектор из базиса f может быть
представлен в виде линейной комбинации векторов базиса e : f j = c1 j e 1 +
+ c2j e 2 + ... + cnj e n, j = 1,..., n. Запишем эти представления в матричной
форме:
                        ⎛ c1 j ⎞
                        ⎜ ⎟
                        ⎜ . ⎟
                f j = e ⎜ . ⎟ , j = 1,..., n , или f = e C ,             (1.5)
                        ⎜ ⎟
                        ⎜ . ⎟
                        ⎜c ⎟
                        ⎝ nj ⎠

               ⎛ c11 ... c1n ⎞
               ⎜             ⎟
где       C = ⎜ ... ... ... ⎟ .                                                (1.6)
               ⎜c            ⎟
               ⎝ n1 ... c nn ⎠
     Матрица С = ( сij)n , элементами которой сij являются координаты
разложения векторов f j по базису e = ( e 1, ..., e n): f j = c1j e 1 + c2j e 2 + ... +
+ cnj e n, j = 1,..., n, называется матрицей перехода от базиса e 1, ..., e n к
новому базису f 1,..., f n. Матрица перехода обладает следующими свойст-
вами.
       Свойство 1. Матрица перехода невырождена и всегда имеет обрат-
ную.