Линейная алгебра. Курзина В.М. - 16 стр.

                                          - 15 -

рый обращается в нуль тождественно, т. е. при всех значениях х из отрезка
[0, 1], только в случае равенства нулю всех его коэффициентов.
         Поскольку в линейном пространстве размерности n может существо-
вать несколько линейно независимых систем n векторов, любая из них мо-
жет быть выбрана в качестве базиса. Любые два базиса одного линейного
пространства содержат одно и то же количество векторов, равное его раз-
мерности. В линейном арифметическом пространстве Rn стандартный ба-
зис e содержит n векторов, т. е. dim Rn = n, что отражено в его обозначе-
нии. Пространство векторов на плоскости V2 имеет базис из двух векто-
ров, например, i = (1, 0) и j = (0, 1), значит, dim V2 = 2. Любые два других
линейно независимых вектора, например, u = (−1, 0), v = (1, 2), также яв-
ляются базисом этого пространства. Аналогично, пространство векторов V3
имеет размерность dim V3 = 3, а в качестве базиса можно взять указанные
ранее вектора i , j , k . Пространство векторов, параллельных прямой, име-
ет размерность 1, и любой из этих векторов может быть выбран в качестве
базиса данного пространства.
         Пусть в линейном пространстве V задана система векторов e = e 1, e 2,
..., e k . Рассмотрим множество S всех векторов в V, которые могут быть
представлены линейной комбинацией этих векторов. Это множество явля-
ется линейным подпространством в V.
         Действительно, пусть u = u1 e 1 + u2 e 2 + ... + uk e k, v = v1 e 1 + v2 e 2 + +
... + vk e k... Тогда u + v = (u1 + v1) e 1 + (u2 + v2) e 2 + ... + (uk + vk) e k ∈ S, α u =
(αu1) e 1 + (αu2) e 2 + ... + (αuk) e k ∈ S, где α ∈ R .
         Описанное линейное пространство, являющееся совокупностью все-
возможных линейных комбинаций векторов e 1, e 2, ..., e k , называется ли-
нейной оболочкой L { e 1, e 2, ..., e k} системы векторов e 1, e 2, ..., e k .
         Любое собственное линейное подпространство можно представить
как линейную оболочку некоторой системы его векторов. В этом заключа-
ется универсальный способ описания линейных подпространств. Само ли-
нейное пространство является линейной оболочкой любого из своих бази-
сов. Любое подпространство является линейным пространством относи-
тельно операций объемлющего линейного пространства и поэтому имеет
размерность и базис. Размерность dim W подпространства W равна числу
векторов его базиса.
         Теорема 1.2. Если W ⎯ линейное подпространство линейного про-
странства V, то dim W ≤ dim V. Если к тому же W не совпадает с V, то
dim W < dim V.
         Любой базис линейного подпространства W, рассматриваемого как
линейное пространство, является линейно независимой системой векторов
в объемлющем линейном пространстве . Если этот базис из W является ба-