Линейная алгебра. Курзина В.М. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

- 13 -
вектор, упорядоченным набором ее коэффициентов и тем самым упростить
запись. Порядок векторов в базисе определяется их нумерацией.
Коэффициенты разложения вектора u по базису e
1
, e
2
, ..., e
n
ли-
нейного пространства, записанные в соответствии с порядком векторов в
базисе, называют координатами вектора u в базисе e
1
, e
2
, ..., e
n
.
Базис e
1
, e
2
, ..., e
n
в данном линейном пространстве V удобно запи-
сывать как матрицу-строку e = ( e
1
, e
2
, ..., e
n
), элементы которой ⎯ векто-
ры, а координаты вектора
u в этом базисе ⎯ как матрицу-столбец
u =
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
n
u
u
u
M
2
1
. (1.4)
Тогда разложение u = u
1
e
1
+ u
2
e
2
+ ... + u
n
e
n
вектора u по базису
e
1
, e
2
, ..., e
n
можно записать как произведение матрицы-строки на матри-
цу-столбец: u = e ⋅u.
Пример 1.15. Единичные базисные векторы декартовой системы ко-
ординат в
V
3
имеют стандартное обозначение и порядок i , j ,
k
. В матрич-
ной записи это будет выглядеть так: e = ( i , j ,
k
). Вектор с координатами
−1, 2, 2 может быть представлен в виде
u = (−1, 2, 2) = − i + 2 j + 2
k
= ( i , j ,
k
)
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
2
2
1
=
eu,
где
u ⎯ столбец координат вектора u.
Запись линейных операций над свободными векторами в координат-
ной форме обобщается на случай произвольного линейного пространства.
Теорема 1.1. При сложении любых векторов в линейном пространст-
ве их координаты в одном и том же базисе складываются, а при умноже-
нии вектора на число его координаты умножаются на число.
Пусть e = e
1
, e
2
, ..., e
n
⎯ произвольный базис в линейном про-
странстве
V и даны разложения векторов u и v в этом базисе:
u = u
1
e
1
+ u
2
e
2
+ ... + u
n
e
n
, v = v
1
e
1
+ v
2
e
2
+ ... + v
n
e
n
.
Тогда u + v = (u
1
e
1
+ u
2
e
2
+ ... + u
n
e
n
) + (v
1
e
1
+ v
2
e
2
+ ... + v
n
e
n
) =
= (u
1
+ v
1
)e
1
+ (u
2
+ v
2
)e
2
+ ... + (u
n
+ v
n
)e
n
, что доказывает утверждение тео-
ремы. В матричной записи координат этому соответствует матричная сум-
ма столбцов координат. 
                                         - 13 -

вектор, упорядоченным набором ее коэффициентов и тем самым упростить
запись. Порядок векторов в базисе определяется их нумерацией.
         Коэффициенты разложения вектора u по базису e 1, e 2, ..., e n ли-
нейного пространства, записанные в соответствии с порядком векторов в
базисе, называют координатами вектора u в базисе e 1, e 2, ..., e n.
        Базис e 1, e 2, ..., e n в данном линейном пространстве V удобно запи-
сывать как матрицу-строку e = ( e 1, e 2, ..., e n), элементы которой ⎯ векто-
ры, а координаты вектора u в этом базисе ⎯ как матрицу-столбец
                                    ⎛ u1 ⎞
                                    ⎜ ⎟
                                    ⎜u ⎟
                                u = ⎜ 2 ⎟.                              (1.4)
                                       M
                                    ⎜⎜ ⎟⎟
                                     ⎝un ⎠
        Тогда разложение u = u1 e 1 + u2 e 2 + ... + un e n вектора u по базису
e 1, e 2, ..., e n можно записать как произведение матрицы-строки на матри-
цу-столбец: u = e ⋅u.
        Пример 1.15. Единичные базисные векторы декартовой системы ко-
ординат в V3 имеют стандартное обозначение и порядок i , j , k . В матрич-
ной записи это будет выглядеть так: e = ( i , j , k ). Вектор с координатами
−1, 2, 2 может быть представлен в виде
                                                            ⎛ − 1⎞
                                                            ⎜ ⎟
        u = (−1, 2, 2) = − i + 2 j + 2 k = ( i , j , k ) ⎜ 2 ⎟ = e u,
                                                            ⎜ 2⎟
                                                            ⎝ ⎠
где u ⎯ столбец координат вектора u .
       Запись линейных операций над свободными векторами в координат-
ной форме обобщается на случай произвольного линейного пространства.
       Теорема 1.1. При сложении любых векторов в линейном пространст-
ве их координаты в одном и том же базисе складываются, а при умноже-
нии вектора на число его координаты умножаются на число.
       Пусть e = e 1, e 2, ..., e n ⎯ произвольный базис в линейном про-
странстве V и даны разложения векторов u и v в этом базисе:
       u = u1 e 1 + u2 e 2 + ... + un e n, v = v1 e 1 + v2 e 2 + ... + vn e n.
       Тогда u + v = (u1 e 1 + u2 e 2 + ... + un e n) + (v1 e 1 + v2 e 2 + ... + vn e n) =
= (u1 + v1) e 1 + (u2 + v2) e 2 + ... + (un + vn) e n, что доказывает утверждение тео-
ремы. В матричной записи координат этому соответствует матричная сум-
ма столбцов координат.

Страницы