Линейная алгебра. Курзина В.М. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

-12-
является линейно независимой, так как представление одного ее вектора в
виде линейной комбинации двух других равносильна компланарности трех
векторов. Кроме того, известно, что любой вектор в пространстве можно
выразить через три произвольных некомпланарных вектора в виде их ли-
нейной комбинации. Три компланарных вектора не могут быть базисом в
V
3
, так как любая линейная комбинация таких векторов даст вектор, им
компланарный.
Теорема о единственности разложения вектора по базису. В линей-
ном пространстве разложение любого вектора по данному базису единст-
венно.
Пусть e
1
, e
2
, ..., e
n
⎯ произвольный базис в линейном пространст-
ве
V. Предположим, что рассматриваемый вектор u имеет в этом базисе
два разложения u =
1
u e
1
+
2
u e
2
+... +
n
u e
n
и u =
1
u
′
e
1
+
2
u
′
e
2
+...+
n
u
′
e
n
.
Применяя аксиомы линейного пространства, после почленного вычитания
линейных комбинаций одной из другой получим
(
1
u
′
−
1
u
)e
1
+ (
2
u
′
−
2
u
)e
2
+ ... + (
n
u
′
−
n
u
)e
n
= 0. (1.3)
Так как базис
⎯ это линейно независимая система векторов, линей-
ная комбинация векторов базиса может быть равна нулевому вектору толь-
ко в случае равенства нулю всех коэффициентов. Значит, все коэффици-
енты этой линейной комбинации равны нулю:
1
u
′
−
1
u
= 0,
2
u
′
−
2
u
= 0, ...,
n
u
′
−
n
u = 0. Таким образом, u′
1
=
1
u ,
2
u
′
=
2
u , ...,
n
u
′
=
n
u , и любые два раз-
ложения вектора
u
по базису e
1
, e
2
,..., e
n
совпадают.
Условие линейной независимости векторов базиса означает, что ну-
левой вектор имеет в этом базисе единственное разложение: со всеми рав-
ными нулю коэффициентами.
Согласно определению базиса, он является упорядоченной системой
векторов. Это значит, что, изменив порядок векторов в системе, получим
другой базис. Порядок векторов в базисе фиксируют для того, чтобы за-
дать
определенный порядок коэффициентов разложения произвольного
вектора. Это позволяет заменить линейную комбинацию, представляющую 
                                           - 12 -

является линейно независимой, так как представление одного ее вектора в
виде линейной комбинации двух других равносильна компланарности трех
векторов. Кроме того, известно, что любой вектор в пространстве можно
выразить через три произвольных некомпланарных вектора в виде их ли-
нейной комбинации. Три компланарных вектора не могут быть базисом в
V3, так как любая линейная комбинация таких векторов даст вектор, им
компланарный.
        Теорема о единственности разложения вектора по базису. В линей-
ном пространстве разложение любого вектора по данному базису единст-
венно.
        Пусть e 1, e 2, ..., e n ⎯ произвольный базис в линейном пространст-
ве V. Предположим, что рассматриваемый вектор u имеет в этом базисе
два разложения u = u1 e 1 + u 2 e 2 +... + u n e n и u = u1′ e 1 + u ′2 e 2 +...+ u ′n e n.
Применяя аксиомы линейного пространства, после почленного вычитания
линейных комбинаций одной из другой получим
            ( u1′ − u1 ) e 1 + ( u 2′ − u 2 ) e 2 + ... + ( u n′ − u n ) e n = 0 . (1.3)
        Так как базис ⎯ это линейно независимая система векторов, линей-
ная комбинация векторов базиса может быть равна нулевому вектору толь-
ко в случае равенства нулю всех коэффициентов. Значит, все коэффици-
енты этой линейной комбинации равны нулю: u1′ − u1 = 0, u 2′ − u 2 = 0, ...,
u n′ − u n = 0. Таким образом, u′1 = u1 , u 2′ = u 2 , ..., u n′ = u n , и любые два раз-
ложения вектора u по базису e 1, e 2,..., e n совпадают.
     Условие линейной независимости векторов базиса означает, что ну-
левой вектор имеет в этом базисе единственное разложение: со всеми рав-
ными нулю коэффициентами.
     Согласно определению базиса, он является упорядоченной системой
векторов. Это значит, что, изменив порядок векторов в системе, получим
другой базис. Порядок векторов в базисе фиксируют для того, чтобы за-
дать определенный порядок коэффициентов разложения произвольного
вектора. Это позволяет заменить линейную комбинацию, представляющую

Страницы