Линейная алгебра. Курзина В.М. - 11 стр.

                                           - 10 -

разить вектор y через остальные. Но слагаемое β y = 0 в равенстве слева
можно опустить и тогда получим, что линейная комбинация оставшихся
векторов равна нулевому вектору, что противоречит заданному условию о
их линейной независимости. Значит, исходная линейная комбинация не
содержит ненулевых коэффициентов, и расширенная система векторов яв-
ляется линейно независимой.
       Пример 1.11. В линейном арифметическом пространстве Rn рассмот-
рим n векторов e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0, 0), ..., e n = (0, 0,.., 0, 1). До-
кажем, что система этих векторов линейно независима.
       Так как для любых коэффициентов α1, α2, ..., αn линейная комбина-
ция α1 e 1 + α2 e 2 + ... + αn e n = (α1, α2, ..., αn), то ясно, что она может быть
равна нулевому вектору (0, 0, ..., 0) только при условии равенства нулю
всех коэффициентов. По определению, это означает, что система векторов
линейно независима.
       Пример 1.12. Пусть в произвольном линейном пространстве V даны
два вектора d 1 и d 2 и пусть x = d 1 − 2 d 2, y = 2 d 1 + d 2, z = d 1 +3 d 2. То-
гда система векторов x , y , z ⎯ линейно зависима. Составим линейную
комбинацию системы векторов x , y , z с произвольными коэффициентами
α1, α2, α3 и приравняем ее нулевому вектору: α1 x +α2 y +α3 z = 0. В этой ли-
нейной комбинации заменим векторы их представлениями через векторы
d 1 и d 2, получим α1 x + α2 y + α3 z = α1( d 1 −2 d 2) + α2(2 d 1 + d 2) + α3( d 1 +
+ 3 d 2) = (α1 + 2α2 + α3) d 1 + (−2α1 + α2 + 3α3) d 2. Теперь достаточно при-
равнять нулю коэффициенты при векторах d 1 и d 2, чтобы определить ко-
эффициенты нулевой линейной комбинации. Итак, для определения коэф-
фициентов α1, α2, α3 получаем однородную систему линейных уравнений
                          ⎧ α1 + 2α 2 + α 3 = 0 ;
                          ⎨
                          ⎩− 2α1 + α 2 + 3α 3 = 0 .
       Как следует из теории решения систем линейных алгебраических
уравнений [3], указанная система всегда имеет ненулевое решение, по-
скольку ранг ее матрицы равен двум и меньше трех ⎯ количества неиз-
вестных. Например, ненулевым решением является α1 = 1, α2 = −1, α3 = 1.
Значит, существуют такие α1, α2, α3, одновременно не равные нулю, что
линейная комбинация векторов x , y , z , с этими коэффициентами равна
нулевому вектору, т. е. система векторов x , y , z ⎯ линейно зависима.
       Пример 1. 13. В линейном пространстве С[0, 2π] функций, непрерыв-
ных на отрезке [0, 2π], рассмотрим функции 1, соs х, cos2x. Система из этих
трех функций линейно независима, так как при произвольном значении х
равенство а1 + а2соs х + а3cos2 x = 0 выполняется только для нулевых зна-
чений постоянных а i , i = 1, 2, 3.