Линейная алгебра. Курзина В.М. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

-9-
Действительно, предположим, что система векторов
v
1
, v
2
,...,v
s
не
является линейно независимой, тогда найдется число α
k
≠ 0, и из равенст-
ва
α
1
v
1
+ α
2
v
2
+ ... + α
s
v
s
= 0 (1.1)
получаем, что вектор
v
k
является линейной комбинацией остальных век-
торов системы
v
k
= − α
1/
α
k
v
1
− α
2/
α
k
v
2
−...− α
k-/
α
k
v
k1
− α
k+1/
α
k
v
k+1
− ... − α
s/
α
k
v
s
. (1.2)
Это противоречит условию, и противоречие возникло из предполо-
жения о линейной зависимости векторов системы. Следовательно, такая
система векторов линейно независима.
Пример 1.10. В линейном пространстве С
[0, 2π]
функций, непрерыв-
ных на отрезке [0, 2π], рассмотрим функции 1,
sin
2
x, cos2x. Система из этих
трех элементов линейного пространства линейно зависима, поскольку по
формуле тригонометрии функция
sin
2
x = 0,5(1− соs2x). Непосредствен-
но из аксиом линейного пространства можно получить ряд простейших
свойств систем векторов произвольного линейного пространства
V.
Свойство 1. Если среди векторов v
1
, v
2
, ..., v
k
линейного простран-
ства
V есть нулевой вектор, то эта система векторов линейно зависима.
Пусть
v
1
=0. Тогда линейная комбинация 1⋅v
1
+ 0⋅v
2
+ ...+ 0⋅v
k
со-
держит число α
1
=1≠ 0, и в то же время, поскольку все ее слагаемые равны
нулю, она равна нулевому вектору.
Свойство 2. Если система векторов содержит линейно зависимую
подсистему, то она линейно зависима.
Доказывается аналогично предыдущему, поскольку все векторы, не
содержащиеся в линейно зависимой подсистеме, можно добавить в линей-
ную комбинацию, соответствующую линейно зависимой подсистеме, с ну-
левыми коэффициентами, что не изменит равенства этой линейной комби-
нации нулевому вектору.
Свойство 3. Если система векторов линейно независима, то и любая
ее подсистема тоже линейно независима.
Это свойство является эквивалентом предыдущего, так как система,
имеющая линейно зависимую подсистему, не может быть сама линейно
независимой. Поэтому у линейно независимой системы вообще не может
быть линейно зависимых подсистем.
Свойство 4. Если векторы e
1
, e
2
,..., e
m
линейного пространства V
линейно независимы и вектор
y
∈V не является их линейной комбинацией,
то расширенная система векторов e
1
, e
2
,..., e
m
, y является линейно неза-
висимой.
Действительно, пусть α
1
e
1
+ α
2
e
2
+ ... + α
m
e
m
+ β y = 0. Тогда коэф-
фициент β должен быть нулевым, так как в противном случае можно вы-
                                            -9-

      Действительно, предположим, что система векторов v 1, v 2,..., v s не
является линейно независимой, тогда найдется число αk ≠ 0, и из равенст-
ва
                            α1 v 1 + α2 v 2 + ... + αs v s = 0                         (1.1)
получаем, что вектор v k является линейной комбинацией остальных век-
торов системы
    v k = − α1/αk v 1 − α2/αk v 2 −...− αk-/αk v k1 − αk+1/αk v k+1 − ... − αs/αk v s. (1.2)
      Это противоречит условию, и противоречие возникло из предполо-
жения о линейной зависимости векторов системы. Следовательно, такая
система векторов линейно независима.
      Пример 1.10. В линейном пространстве С[0, 2π] функций, непрерыв-
ных на отрезке [0, 2π], рассмотрим функции 1, sin2x, cos2x. Система из этих
трех элементов линейного пространства линейно зависима, поскольку по
формуле тригонометрии функция sin2 x = 0,5(1− соs2x). Непосредствен-
но из аксиом линейного пространства можно получить ряд простейших
свойств систем векторов произвольного линейного пространства V.
      Свойство 1. Если среди векторов v 1, v 2, ..., v k линейного простран-
ства V есть нулевой вектор, то эта система векторов линейно зависима.
      Пусть v 1 = 0 . Тогда линейная комбинация 1⋅ v 1 + 0⋅ v 2 + ...+ 0⋅ v k со-
держит число α1 =1≠ 0, и в то же время, поскольку все ее слагаемые равны
нулю, она равна нулевому вектору.
      Свойство 2. Если система векторов содержит линейно зависимую
подсистему, то она линейно зависима.
       Доказывается аналогично предыдущему, поскольку все векторы, не
содержащиеся в линейно зависимой подсистеме, можно добавить в линей-
ную комбинацию, соответствующую линейно зависимой подсистеме, с ну-
левыми коэффициентами, что не изменит равенства этой линейной комби-
нации нулевому вектору.
      Свойство 3. Если система векторов линейно независима, то и любая
ее подсистема тоже линейно независима.
      Это свойство является эквивалентом предыдущего, так как система,
имеющая линейно зависимую подсистему, не может быть сама линейно
независимой. Поэтому у линейно независимой системы вообще не может
быть линейно зависимых подсистем.
      Свойство 4. Если векторы e 1, e 2,..., e m линейного пространства V
линейно независимы и вектор y ∈V не является их линейной комбинацией,
то расширенная система векторов e 1, e 2,..., e m, y является линейно неза-
висимой.
      Действительно, пусть α1 e 1 + α2 e 2 + ... + α m e m + β y = 0 . Тогда коэф-
фициент β должен быть нулевым, так как в противном случае можно вы-

Страницы