Линейная алгебра. Курзина В.М. - 8 стр.

                                  -7-

линейное подпространство W как самостоятельный объект является линей-
ным пространством относительно операций, заданных в объемлющем ли-
нейном пространстве V. В самом деле, эти операции определены для лю-
бых элементов множества V, а значит, и для элементов подмножества W.
Определение фактически требует, чтобы для элементов из W результат вы-
полнения операций также принадлежал W. Поэтому операции, заданные в
V, можно рассматривать как операции и на более узком множестве W. Для
этих операций на множестве W аксиомы линейного пространства а) ⎯ б) и
д) ⎯ з) выполнены в силу того, что они справедливы в V.
        Кроме того, выполнены и две оставшиеся аксиомы, поскольку, со-
гласно определению подпространства, если х ∈ W, то: 1) 0⋅х = 0 ∈ W и 0
⎯ нулевой вектор в W; 2) (−1) х = −х ∈ W.
      В любом линейном пространстве V всегда имеются два линейных
подпространства: само линейное пространство V и нулевое подпростран-
ство { 0 }, состоящее из единственного элемента 0 . Эти линейные подпро-
странства называют несобственными, а все остальные ⎯ собственными
подпространствами. Приведем примеры собственных линейных подпро-
странств.
      Пример 1.6. В линейном пространстве V3 свободных векторов
трехмерного пространства линейное подпространство образуют: а) все
векторы, параллельные заданной плоскости; б) все векторы, параллельные
данной прямой. Это вытекает из следующих соображений. Из определения
суммы свободных векторов [4] следует, что два вектора a , b и их сумма
a + b принадлежат одной плоскости. Поэтому, если a и b параллельны
некоторой заданной плоскости, то этой же плоскости будет параллельна
их сумма. Если вектор умножить на число, получится вектор, параллель-
ный исходному, а следовательно, параллельный заданной плоскости. Тем
самым установлено, что для случая а) оба условия определения подпро-
странства выполняются. Случай б) обосновывается аналогично.
      Линейное пространство V3 дает наглядное представление, что такое
линейное подпространство. Если зафиксировать некоторую точку в про-
странстве, то различным плоскостям и различным прямым, проходящим
через эту точку, будут соответствовать различные линейные подпростран-
ства из V3.
      Пример 1.7. Любое решение однородной системы линейных алгеб-
раических уравнений с n неизвестными можно рассматривать как вектор в
линейном арифметическом пространстве Rn. Множество всех таких векто-
ров является линейным подпространством в Rn. В самом деле, решения
однородной системы уравнений можно складывать и умножать на дейст-
вительные числа по правилам операций векторов из Rn, и результат опера-