Линейная алгебра. Курзина В.М. - 6 стр.

                                   -5-

цы А умножением всех ее элементов на число −1, будет являться для мат-
рицы А противоположным элементом. Остальные аксиомы выполняются,
так как они сводятся к операциям над числами (элементами матриц), для
которых верны [3].
       Пример 1.3. Множество решений системы m линейных однородных
уравнений с n неизвестными, если ранг ее меньше числа неизвестных, яв-
ляется линейным пространством. Каждое из решений системы является
вектором размерности n. Согласно [3], сумма двух векторов-решений и
произведение вектора-решения на число также являются решениями сис-
темы. Нуль-вектор также является решением, а противоположный вектор
получается умножением вектора-решения на число −1 и, следовательно,
также является решением системы однородных уравнений.
       Пример 1.4. Множество всех многочленов степени, не превышающей
натурального числа n, с операциями сложения многочленов и умножения
их на число, ⎯ линейное пространство, в котором нулевым элементом яв-
ляется многочлен со всеми нулевыми коэффициентами, а противополож-
ный элемент для каждого многочлена получается его умножением на чис-
ло −1. Действительно, многочлен степени не выше n является алгебраиче-
ской суммой нескольких одночленов, каждый из которых есть произведе-
ние, составленное из числового множителя и заданной буквы в степени:
                               а0 + а1х + а2х2 + ... + аnхn.
       Операции сложения и умножения на число многочленов сводятся к
операциям над числами, являющимися коэффициентами (множителями)
при соответствующих степенях букв.
       Пример 1.5. Множество всех функций у = f (x), определенных и не-
прерывных на отрезке [a, b], для которых обычными правилами математи-
ческого анализа определены операции сложения таких функций и умно-
жения их на число, является линейным пространством. Пусть f (x) и g (x) ⎯
функции, определенные и непрерывные на отрезке [a, b], тогда их сумма f
(x) + g (x) = h (x) ⎯ определенная и непрерывная во всех точках отрезка
[a, b] функция [4]. Аналогично, при умножении функции на любое число
получаем функцию, определенную и непрерывную на отрезке [a, b], т. е.
принадлежащую рассматриваемому множеству. В качестве нулевого эле-
мента в этом множестве берем функцию, имеющую значение нуль во всех
точках отрезка [a, b], т. е. функцию у = 0 ⎯ часть оси Ох, а именно отре-
зок а ≤ х ≤ b. Противоположным элементом для функции f (x), будет
функция −f (x). Остальные аксиомы будут выполняться в силу того, что
все операции над функциями сводятся в каждой конкретной точке отрезка
к операциям над числами, для которых эти аксиомы верны. Следовательно,
совокупность функций, непрерывных на отрезке [a, b], с обычными опе-
рациями сложения функций и умножения функции на число является ли-