Линейная алгебра. Курзина В.М. - 5 стр.

                                   -4-

                          1. Линейные пространства

     1.1. Определение и примеры

      В данном разделе будем рассматривать объекты произвольной при-
роды: точки, матрицы, многочлены, векторы, функции и т. д.
      Множество V элементов u, v, w, ... произвольной природы, в кото-
ром определены операции сложения (u + v, где u, v∈V) и умножения на
число (αv, где α ⎯ число, v ∈V ), подчиняющиеся определенным аксио-
мам, называется линейным пространством. Элементы произвольного ли-
нейного пространства V часто называют векторами.
      Указанные операции над векторами подчиняются следующим ак-
сиомам:
      а) u + v = v + u ⎯ это свойство операции сложения векторов линей-
ного пространства V называется коммутативностью сложения векторов;
      б) (u + v) + w = u + (v + w) ⎯ это свойство операции сложения назы-
вается ассоциативностью сложения векторов;
      в) существует нулевой элемент 0, такой, что u + 0 = u для любого
элемента u множества;
      г) для каждого элемента u существует противоположный элемент
−u, такой, что u + (− u) = 0;
      д) для любого элемента u справедливо равенство 1⋅ u = u;
      е) λ(µ u) = (λµ)u;
      ж) (λ + µ) u = λu + µ u;
      з) λ( u + v) = λu + λv, где λ, µ ⎯ числа.
      Приведем примеры таких пространств.
      Пример 1.1. Множество V3 свободных векторов в трехмерном про-
странстве. Операцией сложения является операция сложения двух векто-
ров, в результате которой получается вектор из этого же множества, а опе-
рацией умножения на число ⎯ операция умножения вектора на число α, в
результате которой получается коллинеарный вектор множества V3 "удли-
ненный" в α раз. Операции над векторами сводятся к операциям над дейст-
вительными числами (координатами вектора), для сложения и умножения
которых аксиомы а, б, г, е, ж, з ⎯ выполняются. В качестве нулевого
элемента в этом множестве можно взять нулевой вектор, а в качестве эле-
мента −u вектор, имеющий равную с вектором u длину и противоположно
ему направленный.
      Пример 1.2. Множество вещественных матриц размерности m х n
также является линейным пространством. Операции сложения и умноже-
ния на число элементов этого пространства соответствуют операциям сло-
жения двух матриц и умножению матрицы на число. В этом множестве ну-
левая матрица будет нулевым элементом. Матрица, полученная из матри-